Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (e) .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para determinar o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem da função , onde . Para resolver isso, precisamos entender cada termo:
  • Domínio: todos os valores de que a função aceita.
  • Contradomínio: todos os possíveis valores de saída que a função pode ter, conforme definido.
  • Conjunto imagem: os valores realmente obtidos pela função a partir do domínio.
Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Encontrando o Domínio:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função:
O único ponto que poderia causar problema seria se o denominador fosse zero, pois divisão por zero não é definida. Então, vamos resolver:
Aqui, não existe nenhum número real que ao quadrado dê . Portanto, o denominador nunca é zero para nenhum valor real de . Assim, o domínio é todo o conjunto dos números reais:
í

Passo 3

Determinado o Contradomínio:
O contradomínio é um conjunto que contém todos os valores que a função poderia possivelmente assumir, conforme definido na função. No nosso caso, a função está definida de:
Isso significa que o contradomínio é todos os números reais:
í

Passo 4

Encontrando o Conjunto Imagem:
O conjunto imagem é o conjunto real dos valores que a função assume quando varia pelo domínio. Vamos analisar :
  1. Positividade: O denominador é sempre positivo, já que para qualquer . Portanto, também é sempre positivo.
  2. Limites:
    • Quando :
    • Quando tende a ou : tende a
  3. Intervalo de Valores: Assim, varia entre e , incluindo o mas sem chegar exatamente a .
Portanto, o conjunto imagem é:

Resposta

  • Domínio:
  • Contradomínio:
  • Conjunto Imagem: ( (0, 1] \ )

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Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (a) .
Seja para todo . Determine: ;
Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (h) í.
Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (o) .