Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (e)
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para determinar o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem da função
, onde
. Para resolver isso, precisamos entender cada termo:
- Domínio: todos os valores de
que a função aceita. - Contradomínio: todos os possíveis valores de saída que a função pode ter, conforme definido.
- Conjunto imagem: os valores realmente obtidos pela função a partir do domínio.
Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Encontrando o Domínio:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função:
O único ponto que poderia causar problema seria se o denominador fosse zero, pois divisão por zero não é definida. Então, vamos resolver:
Aqui, não existe nenhum número real que ao quadrado dê
. Portanto, o denominador nunca é zero para nenhum valor real de
. Assim, o domínio é todo o conjunto dos números reais:
Passo 3
Determinado o Contradomínio:
O contradomínio é um conjunto que contém todos os valores que a função poderia possivelmente assumir, conforme definido na função. No nosso caso, a função está definida de:
Isso significa que o contradomínio é todos os números reais:
Passo 4
Encontrando o Conjunto Imagem:
O conjunto imagem é o conjunto real dos valores que a função assume quando
varia pelo domínio. Vamos analisar
:
-
Positividade: O denominador
é sempre positivo, já que para qualquer . Portanto, também é sempre positivo. -
Limites:
- Quando
: - Quando
tende a ou : tende a
- Quando
-
Intervalo de Valores: Assim,
varia entre e , incluindo o mas sem chegar exatamente a .
Portanto, o conjunto imagem é:
Resposta
- Domínio:
- Contradomínio:
- Conjunto Imagem: ( (0, 1] \ )
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Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (a)
.
Seja
para todo
. Determine:
;
Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (h)
.
Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (o)
.