Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (h) í.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida da seguinte forma:
éíé
Nossa missão aqui é descobrir três coisas sobre essa função:
  1. Domínio: Os valores que a gente pode colocar na função.
  2. Contradomínio: O conjunto onde as saídas da função podem estar, conforme definido na função.
  3. Imagem: Os valores reais que a função produz quando a gente coloca todos os elementos do domínio nela.
Vamos resolver isso passo a passo, sem deixar nada de fora!

Passo 2

Dominio
O domínio da função é o conjunto de todos os possíveis valores que a gente pode colocar na função. Na definição da função, está escrito que . Isso significa que o domínio é o conjunto dos números naturais.
Então, o domínio é:

Passo 3

Contradomínio
O contradomínio é o conjunto que contém todas as possíveis saídas da função, conforme definido na própria função. Na nossa função, está escrito , o que indica que o contradomínio é o conjunto dos números inteiros.
Então, o contradomínio é:

Passo 4

Imagem
A imagem, por outro lado, é o conjunto real dos valores que a função atinge quando a gente aplica todos os elementos do domínio nela. Vamos analisar cada caso da função para descobrir a imagem.
  1. Quando é ímpar:
    • A função é
    • Por exemplo:
      • Se ,
      • Se ,
      • Se ,
      • E assim por diante.
    • Observamos que para números ímpares, produz todos os números inteiros não negativos.
  2. Quando é par:
    • A função é
    • Por exemplo:
      • Se ,
      • Se ,
      • Se ,
      • E assim por diante.
    • Aqui, para números pares, produz todos os números inteiros negativos.
Então, juntando tudo:
  • A função gera todos os números inteiros positivos a partir dos números ímpares e todos os números inteiros negativos a partir dos números pares, além de zero.
Portanto, a imagem é:

Resposta

  • Domínio:
  • Contradomínio:
  • Imagem:

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (e) .
Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (a) .
Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (o) .
Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .