Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (h)
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida da seguinte forma:
Nossa missão aqui é descobrir três coisas sobre essa função:
- Domínio: Os valores que a gente pode colocar na função.
- Contradomínio: O conjunto onde as saídas da função podem estar, conforme definido na função.
- Imagem: Os valores reais que a função produz quando a gente coloca todos os elementos do domínio nela.
Vamos resolver isso passo a passo, sem deixar nada de fora!
Passo 2
Dominio
O domínio da função é o conjunto de todos os possíveis valores que a gente pode colocar na função. Na definição da função, está escrito que
. Isso significa que o domínio é o conjunto dos números naturais.
Então, o domínio é:
Passo 3
Contradomínio
O contradomínio é o conjunto que contém todas as possíveis saídas da função, conforme definido na própria função. Na nossa função, está escrito
, o que indica que o contradomínio é o conjunto dos números inteiros.
Então, o contradomínio é:
Passo 4
Imagem
A imagem, por outro lado, é o conjunto real dos valores que a função atinge quando a gente aplica todos os elementos do domínio nela. Vamos analisar cada caso da função para descobrir a imagem.
-
Quando
é ímpar: - A função é
- Por exemplo:
- Se
, - Se
, - Se
, - E assim por diante.
- Se
- Observamos que para números ímpares,
produz todos os números inteiros não negativos.
- A função é
-
Quando
é par: - A função é
- Por exemplo:
- Se
, - Se
, - Se
, - E assim por diante.
- Se
- Aqui, para números pares,
produz todos os números inteiros negativos.
- A função é
Então, juntando tudo:
- A função gera todos os números inteiros positivos a partir dos números ímpares e todos os números inteiros negativos a partir dos números pares, além de zero.
Portanto, a imagem é:
Resposta
- Domínio:
- Contradomínio:
- Imagem:
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Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (e)
.
Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (a)
.
Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (o)
.
Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.