Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (a) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem da função , onde . Isso significa que estamos trabalhando com funções reais e precisamos entender onde a função está definida, qual é o “espaço alvo” (contradomínio) e quais são os valores que a função realmente alcança (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para , vemos que é um polinômio do segundo grau. Funções polinomiais estão definidas para todos os números reais. Então, o domínio é:
Passo 3
Agora, o contradomínio. O contradomínio é o conjunto de valores que a função pode assumir, conforme especificado na definição da função. Aqui, foi dado que , o que significa que o contradomínio é todos os números reais exceto os que estão no intervalo . Em outras palavras:
Passo 4
Por último, vamos encontrar o conjunto imagem, que é o conjunto de todos os valores que a função realmente atinge quando aplicamos todos os valores do domínio. A função é uma parábola voltada para cima com vértice no ponto . Isso significa que o menor valor que pode assumir é , e ela cresce para conforme aumenta ou diminui. Portanto, a imagem da função é: