Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (o) .

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado da questão pede para determinarmos o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem da função . Aqui, estamos lidando com funções que envolvem conjuntos numéricos, especificamente números racionais ( ) e reais ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são domínio, contradomínio e imagem.

Passo 2

Primeiro, domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de entrada. No caso, a função recebe um par ordenado , onde é um número racional ( ) e é um número real ( ). Portanto, o domínio é o produto desses dois conjuntos:
í

Passo 3

Agora, o contradomínio é o conjunto para onde a função está mapeando os elementos do domínio. Na função dada, está explícito que o contradomínio é :
í
Isso significa que todos os valores de saída da função são números reais.

Passo 4

Por fim, vamos determinar o conjunto imagem, que é o conjunto de todos os possíveis valores de saída efetivamente obtidos pela função. A função soma um número racional com um número real. Sabemos que a soma de um número racional e um número real sempre resulta em um número real. Além disso, para qualquer número real , podemos encontrar e tal que . Assim, o conjunto imagem também é:

Resposta

  • Domínio:
  • Contradomínio:
  • Imagem:

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Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (e) .
Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .
Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .