Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (g)
.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função
. Precisamos descobrir três coisas sobre essa função:
- Domínio: quais valores de
podemos colocar na função. - Contradomínio: qual é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir, de acordo com sua definição.
- Conjunto Imagem: quais valores a função realmente atinge com os
do domínio.
Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função e entender como ela se comporta.
Passo 2
Determinar o Domínio
O domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para
, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero é indefinida.
Vamos resolver:
Como
(módulo de
) sempre é maior ou igual a zero,
nunca será zero. O menor valor que
pode ter é 2, quando
.
Portanto, o domínio de
é todos os números reais:
Passo 3
Determinar o Contradomínio
O contradomínio é o conjunto de todos os possíveis valores que a função poderia assumir, de acordo com sua definição. A função está definida como
, o que significa que, em teoria, os valores de saída podem ser quaisquer números reais.
Portanto, o contradomínio de
é:
Passo 4
Determinar o Conjunto Imagem
Agora, vamos descobrir realmente quais valores
pode assumir. A função é:
Sabemos que
, então
. O denominador sempre será maior ou igual a 2, o que significa que:
Como temos um valor negativo no numerador:
O menor valor de
é quando
:
À medida que
aumenta,
também aumenta, fazendo com que
se aproxime de 0, mas sempre negativo.
Portanto, o conjunto imagem de
é:
Resposta
- Domínio:
- Contradomínio:
- Conjunto Imagem: