Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (j) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre a função , onde . A gente vai precisar entender o que são domínio, contradomínio e conjunto imagem. Vou te explicar cada um enquanto a gente resolve.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de entrada (nesses casos, os pares ) para os quais a função está definida. Como nossa função recebe dois números reais e realiza operações básicas (multiplicação e adição), ela está definida para todos os pares de números reais. Então, o domínio é .

Passo 3

Agora, o contradomínio é o conjunto de todos os possíveis valores de saída que a função pode assumir, mas sem necessariamente serem alcançados. No enunciado, foi dado que a função mapeia para , ou seja, o contradomínio é .

Passo 4

Por fim, o conjunto imagem é o conjunto de todos os valores que a função realmente atinge quando aplicamos todos os possíveis valores de entrada do domínio. Vamos ver o que acontece com .
Podemos reescrever essa expressão da seguinte maneira:
Isso mostra que, para qualquer e reais, podemos encontrar combinações que resultam em qualquer número real. Por exemplo, se escolhermos , então . Assim, para cada real, há um (no caso, zero) que faz , cobrindo todos os números reais. Portanto, o conjunto imagem também é .

Resposta

  • Domínio:
  • Contradomínio:
  • Conjunto imagem:

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