Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (f) .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! O exercício pede para a gente determinar três coisas sobre a função :
  1. Domínio: Todos os valores de que a função consegue receber.
  2. Contradomínio: O conjunto de possíveis valores que a função poderia retornar, segundo a definição.
  3. Conjunto Imagem: Os valores que a função realmente retorna quando aplicamos todos os possíveis .
Vamos usar conceitos de funções, especialmente sobre raiz quadrada e valor absoluto, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio é essencialmente todos os valores de que a gente pode colocar na função sem causar problemas, como raízes de números negativos ou divisão por zero.
Na nossa função, temos . A raiz quadrada só está definida para números não negativos. Mas, olha só, o que tá dentro da raiz é , que é o valor absoluto de .
O valor absoluto de qualquer número real sempre é não negativo, ou seja, para todo em . Então, vai sempre existir porque estamos tirando a raiz de um número que nunca será negativo.
Resumo: Não tem restrição para , qualquer número real serve.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o contradomínio. O contradomínio é simplesmente o conjunto onde a gente espera que os resultados da função estejam, conforme a definição da função. No enunciado, já está claro que o contradomínio é , que são todos os números reais.
Então, o contradomínio da função é .

Passo 4

Vamos determinar o conjunto imagem. Esse é o conjunto de todos os valores que a função realmente assume quando a gente aplica todos os possíveis .
Nossa função é . Como já vimos, é sempre não negativo, então também será sempre não negativo. Além disso, para qualquer número real não negativo , sempre tem algum (especificamente, ou ) que faz .
Portanto, o conjunto imagem é todos os números reais não negativos.

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais)
  • Contradomínio: (todos os números reais)
  • Conjunto Imagem: (todos os números reais não negativos)

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Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (d) .
Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (b) .
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