Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (f)
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! O exercício pede para a gente determinar três coisas sobre a função
:
- Domínio: Todos os valores de
que a função consegue receber. - Contradomínio: O conjunto de possíveis valores que a função poderia retornar, segundo a definição.
- Conjunto Imagem: Os valores que a função realmente retorna quando aplicamos todos os possíveis
.
Vamos usar conceitos de funções, especialmente sobre raiz quadrada e valor absoluto, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio é essencialmente todos os valores de
que a gente pode colocar na função sem causar problemas, como raízes de números negativos ou divisão por zero.
Na nossa função, temos
. A raiz quadrada só está definida para números não negativos. Mas, olha só, o que tá dentro da raiz é
, que é o valor absoluto de
.
O valor absoluto de qualquer número real
sempre é não negativo, ou seja,
para todo
em
. Então,
vai sempre existir porque estamos tirando a raiz de um número que nunca será negativo.
Resumo: Não tem restrição para
, qualquer número real serve.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o contradomínio. O contradomínio é simplesmente o conjunto onde a gente espera que os resultados da função estejam, conforme a definição da função. No enunciado, já está claro que o contradomínio é
, que são todos os números reais.
Então, o contradomínio da função
é
.
Passo 4
Vamos determinar o conjunto imagem. Esse é o conjunto de todos os valores que a função realmente assume quando a gente aplica todos os possíveis
.
Nossa função é
. Como já vimos,
é sempre não negativo, então
também será sempre não negativo. Além disso, para qualquer número real não negativo
, sempre tem algum
(especificamente,
ou
) que faz
.
Portanto, o conjunto imagem é todos os números reais não negativos.
Resposta
- Domínio:
(todos os números reais) - Contradomínio:
(todos os números reais) - Conjunto Imagem:
(todos os números reais não negativos)
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (d)
.
Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (b)
.
Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (j)
.