Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem da função .
  • Domínio: todos os valores de que a função pode aceitar.
  • Contradomínio: o conjunto de todos os possíveis valores de saída que a função pode ter, segundo a definição.
  • Conjunto imagem: os valores que a função realmente atinge.
Para resolver isso, vamos lembrar de como funciona o valor absoluto e como ele afeta a função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o valor absoluto. O valor absoluto de , escrito como , é sempre um número não negativo. Ou seja:
Isso significa que transforma qualquer número negativo em positivo e deixa os positivos inalterados.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função em duas partes, dependendo do valor de :
  1. Quando :
    Então, para qualquer positivo ou zero, ser�� 0.
  2. Quando :
    Aqui, para negativo, será igual a , que também será negativo porque o dobro de um número negativo continua sendo negativo.

Passo 4

Dominio é o conjunto de todos os valores de que a função pode aceitar. No nosso caso, a função está definida para todos os números reais . Então:
í
Contradomínio é o conjunto de todos os possíveis valores de saída que a função pode ter, conforme definido. Já a função foi definida como , então:
í

Passo 5

Conjunto Imagem é o conjunto real de valores que a função realmente atinge quando aplicamos todos os do domínio.
  • Para , .
  • Para , . Como é negativo, também é negativo, e pode assumir qualquer valor negativo.
Portanto, o conjunto imagem será todos os números que são menores ou iguais a zero.

Resposta

  • Domínio:
  • Contradomínio:
  • Conjunto Imagem:

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Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (b) .
Seja , para todo . Determine para que valores de as seguintes fórmulas são verdadeiras: ;
Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (f) .