Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função
definida por
. A tarefa é verificar duas coisas sobre essa função:
- Se
é injetora (ou seja, se valores diferentes de sempre dão valores diferentes de ). - Se
é sobrejetora (ou seja, se todo valor real pode ser obtido como para algum ).
Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas propriedades e analisar a função passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a função
é injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, então necessariamente
.
Olha só a nossa função:
.
Observa que o valor de
depende do valor absoluto de
. Isso significa que
vai ter o mesmo valor para
e para
. Por exemplo:
- Se
, então . - Se
, então .
Aqui, temos
mas
. Isso mostra que a função não é injetora porque conseguimos encontrar dois valores diferentes de
que dão o mesmo
.
Passo 3
Agora, vamos analisar se a função
é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo
no conjunto de chegada (
nesse caso), existe pelo menos um
no domínio tal que
.
Vamos olhar para a nossa função
. Vamos ver qual é o intervalo dos valores que
pode assumir.
- Quando
aumenta (ou seja, vai para ou ), também aumenta, fazendo com que se aproxime de 0. - Quando
(ou seja, ), .
Então, o valor de
está sempre entre
e 0. Isso significa que não dá para conseguir valores menores que
ou iguais a 0. Por exemplo, não existe nenhum
que faça
ou
.
Como a função não consegue atingir todos os valores reais, ela não é sobrejetora.
Resposta
A função
não é injetora e não é sobrejetora.
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