Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por . A tarefa é verificar duas coisas sobre essa função:
  1. Se é injetora (ou seja, se valores diferentes de sempre dão valores diferentes de ).
  2. Se é sobrejetora (ou seja, se todo valor real pode ser obtido como para algum ).
Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas propriedades e analisar a função passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então necessariamente .
Olha só a nossa função: .
Observa que o valor de depende do valor absoluto de . Isso significa que vai ter o mesmo valor para e para . Por exemplo:
  • Se , então .
  • Se , então .
Aqui, temos mas . Isso mostra que a função não é injetora porque conseguimos encontrar dois valores diferentes de que dão o mesmo .

Passo 3

Agora, vamos analisar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo no conjunto de chegada ( nesse caso), existe pelo menos um no domínio tal que .
Vamos olhar para a nossa função . Vamos ver qual é o intervalo dos valores que pode assumir.
  • Quando aumenta (ou seja, vai para ou ), também aumenta, fazendo com que se aproxime de 0.
  • Quando (ou seja, ), .
Então, o valor de está sempre entre e 0. Isso significa que não dá para conseguir valores menores que ou iguais a 0. Por exemplo, não existe nenhum que faça ou .
Como a função não consegue atingir todos os valores reais, ela não é sobrejetora.

Resposta

A função não é injetora e não é sobrejetora.

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Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (o) .
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