Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por:
A pergunta quer saber se essa função é injetora e sobrejetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas propriedades e aplicar isso à função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre função injetora. Uma função é injetora (ou injetiva) se elementos diferentes no domínio resultam em elementos diferentes no contradomínio. Em outras palavras, se
então necessariamente
.
Vamos verificar isso para nossa função
:
Suponha que
:
Multiplicando os dois lados por
(que é positivo porque
):
Isso mostra que a única maneira de
é se
. Portanto,
é injetora.
Passo 3
Agora, vamos ver se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora (ou sobrejetiva) se todo elemento do contradomínio tem pelo menos um elemento no domínio que mapeia para ele. Ou seja, para todo
, existe pelo menos um
tal que
.
Vamos resolver
para
:
Agora, precisamos verificar se
pertence ao domínio
:
- Como
, então . - E como
é positivo, .
Portanto,
para todo
. Isso significa que para cada
no contradomínio, existe um
no domínio tal que
. Logo,
é sobrejetora.
Resposta
(i) A função
é injetora.
(ii) A função
é sobrejetora.
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Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (o)
.
Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (h)
.
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é injetora e (ii)
é sobrejetora.
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Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
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