Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) f é injetora e (ii) f é sobrejetora. f:(0,1] [1, infty), f(x)=1 / x.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função f: (0,1] [1, infty), f(x) = 1x definida por:
A pergunta quer saber se essa função é injetora e sobrejetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas propriedades e aplicar isso à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre função injetora. Uma função é injetora (ou injetiva) se elementos diferentes no domínio resultam em elementos diferentes no contradomínio. Em outras palavras, se 1x1 = 1x2 então necessariamente x2 = x1 .
Vamos verificar isso para nossa função :
Suponha que :
Multiplicando os dois lados por (que é positivo porque ):
Isso mostra que a única maneira de é se . Portanto, é injetora.

Passo 3

Agora, vamos ver se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora (ou sobrejetiva) se todo elemento do contradomínio tem pelo menos um elemento no domínio que mapeia para ele. Ou seja, para todo 1x = y implies x = 1y , existe pelo menos um tal que .
Vamos resolver para :
Agora, precisamos verificar se pertence ao domínio :
  • Como , então .
  • E como é positivo, .
Portanto, para todo . Isso significa que para cada no contradomínio, existe um no domínio tal que . Logo, é sobrejetora.

Resposta

(i) A função é injetora.
(ii) A função é sobrejetora.

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