Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para analisarmos se a função
, definida por
, é injetora e sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de injetividade e sobrejetividade, além de aplicar algumas propriedades de funções inteiras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, então
. Em outras palavras, cada valor de saída está associado a apenas um valor de entrada.
Vamos verificar se essa função é injetora. Suponha que
:
Para ser injetora, isso deve implicar que
. Vamos tentar resolver essa equação para ver se é sempre verdade.
Passo 3
Expandindo os lados da equação:
Então, temos:
Simplificando:
Fatorando:
Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
-
⇒ -
⇒
Como
e
são inteiros, a segunda condição não pode ser satisfeita porque
não é inteiro. Portanto, a única solução possível é
.
Passo 4
Como mostraram, a única forma de
ocorrer é quando
. Portanto, a função
é injetora.
Agora, vamos verificar se
é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo
, existe pelo menos um
tal que
. Em outras palavras, todo número inteiro deve ser alcançado pela função.
Passo 5
Para verificar a sobrejetividade, precisamos investigar se a equação
tem solução inteira para todo
. Ou seja:
Isso se expande para:
Rearranjando:
Esta é uma equação quadrática em
:
Para que existam soluções inteiras para
, o discriminante
da equação deve ser um quadrado perfeito. O discriminante é dado por:
Para
ser inteiro,
deve ser um quadrado perfeito não negativo:
Resolvendo
:
Como
é inteiro,
.
Agora, vamos ver quais valores de
satisfazem que
seja um quadrado perfeito:
Portanto, apenas para
e
a equação
tem soluções inteiras. Para outros valores de
, não existe
tal que
.
Resposta
A função
é injetora, mas não é sobrejetora.
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