Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para analisarmos se a função , definida por , é injetora e sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de injetividade e sobrejetividade, além de aplicar algumas propriedades de funções inteiras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então . Em outras palavras, cada valor de saída está associado a apenas um valor de entrada.
Vamos verificar se essa função é injetora. Suponha que :
Para ser injetora, isso deve implicar que . Vamos tentar resolver essa equação para ver se é sempre verdade.

Passo 3

Expandindo os lados da equação:
Então, temos:
Simplificando:
Fatorando:
Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
Como e são inteiros, a segunda condição não pode ser satisfeita porque não é inteiro. Portanto, a única solução possível é .

Passo 4

Como mostraram, a única forma de ocorrer é quando . Portanto, a função é injetora.
Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo , existe pelo menos um tal que . Em outras palavras, todo número inteiro deve ser alcançado pela função.

Passo 5

Para verificar a sobrejetividade, precisamos investigar se a equação tem solução inteira para todo . Ou seja:
Isso se expande para:
Rearranjando:
Esta é uma equação quadrática em :
Para que existam soluções inteiras para , o discriminante da equação deve ser um quadrado perfeito. O discriminante é dado por:
Para ser inteiro, deve ser um quadrado perfeito não negativo:
é
Resolvendo :
Como é inteiro, .
Agora, vamos ver quais valores de satisfazem que seja um quadrado perfeito:
á
ãé
á
Portanto, apenas para e a equação tem soluções inteiras. Para outros valores de , não existe tal que .

Resposta

A função é injetora, mas não é sobrejetora.

Exercícios relacionados

Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .
Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .
Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .
Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .