Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) f é injetora e (ii) f é sobrejetora. f: Z Z, f(n)=(3 n-1)(2-n).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para analisarmos se a função , definida por , é injetora e sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de injetividade e sobrejetividade, além de aplicar algumas propriedades de funções inteiras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se, sempre que (3n1 - 1)(2 - n1) = (3n2 - 1)(2 - n2) , então . Em outras palavras, cada valor de saída está associado a apenas um valor de entrada.
Vamos verificar se essa função é injetora. Suponha que :
Para ser injetora, isso deve implicar que . Vamos tentar resolver essa equação para ver se é sempre verdade.

Passo 3

Expandindo os lados da equação:
(3n1 - 1)(2 - n1) = 6n1 - 3n1^2 - 2 + n1 = -3n1^2 + 7n1 - 2
(3n2 - 1)(2 - n2) = 6n2 - 3n2^2 - 2 + n2 = -3n2^2 + 7n2 - 2
Então, temos:
-3n1^2 + 7n1 - 2 = -3n2^2 + 7n2 - 2
Simplificando:
-3n1^2 + 7n1 = -3n2^2 + 7n2
-3(n1^2 - n2^2) + 7(n1 - n2) = 0
Fatorando:
-3(n1 - n2)(n1 + n2) + 7(n1 - n2) = (n1 - n2)(-3(n1 + n2) + 7) = 0
Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
Como e são inteiros, a segunda condição não pode ser satisfeita porque não é inteiro. Portanto, a única solução possível é .

Passo 4

Como mostraram, a única forma de ocorrer é quando . Portanto, a função é injetora.
Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo , existe pelo menos um tal que . Em outras palavras, todo número inteiro deve ser alcançado pela função.

Passo 5

Para verificar a sobrejetividade, precisamos investigar se a equação (3n - 1)(2 - n) = k tem solução inteira para todo -3n^2 + 7n - 2 = k . Ou seja:
-3n^2 + 7n - (2 + k) = 0
Isso se expande para:
3n^2 - 7n + (2 + k) = 0
Rearranjando:
De
Esta é uma equação quadrática em 25 - 12k >= 0 e 25 - 12k é quadrado perfeito :
25 >= 12k Rightarrow k <= 2512 approx 2,08
Para que existam soluções inteiras para k = 0: 25 - 0 = 25 = 5^2 (Válido) , o discriminante k = 1: 25 - 12 = 13 (Não é quadrado perfeito) da equação deve ser um quadrado perfeito. O discriminante é dado por:
k = 2: 25 - 24 = 1 = 1^2 (Válido)
Para ser inteiro, deve ser um quadrado perfeito não negativo:
é
Resolvendo :
Como é inteiro, .
Agora, vamos ver quais valores de satisfazem que seja um quadrado perfeito:
á
ãé
á
Portanto, apenas para e a equação tem soluções inteiras. Para outros valores de , não existe tal que .

Resposta

A função é injetora, mas não é sobrejetora.

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