Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
definida por
. A tarefa é verificar duas coisas sobre essa função:
- Injetora: Se a função é tal que cada valor de entrada
gera um valor de saída único . - Sobrejetora: Se a função cobre todo o conjunto dos números reais
como possíveis saídas.
Vamos precisar entender os conceitos de injetividade e sobrejetividade para resolver isso. Vamos passo a passo!
Passo 2
Verificando se
é injetora:
Uma função é injetora (ou injetiva) se, sempre que
, então necessariamente
. Em outras palavras, cada valor de saída corresponde a no máximo um valor de entrada.
Vamos ver isso na prática com nossa função
.
Observação importante:
. Isso significa que
. Ou seja, valores positivos e negativos de
diferentes geram o mesmo valor de
.
Exemplo:
Se
, então
.
Se
, então
.
Aqui, temos
mas
.
Portanto, a função não é injetora.
Passo 3
Verificando se
é sobrejetora:
Uma função é sobrejetora (ou sobrejetiva) se, para todo
no conjunto de chegada
, existe pelo menos um
em
tal que
. Ou seja, a função “cobre” todo o conjunto de chegada.
Vamos analisar nossa função
.
Primeiro, vamos ver o intervalo de valores que
pode assumir:
-
é sempre não negativo, então . - Portanto,
. - À medida que
aumenta, aumenta, e se aproxima de 0, mas nunca chega a 0.
Então, os valores possíveis de
estão no intervalo
.
Conclusão:
Como o conjunto de chegada é
, e nossa função só atinge valores entre 0 e 1, há muitos valores em
que não são alcançados por
. Por exemplo,
ou
não têm nenhum
que satisfaça
.
Portanto, a função não é sobrejetora.
Resposta
A função
não é injetora porque valores diferentes de
podem gerar o mesmo
, e não é sobrejetora porque não cobre todo o conjunto dos números reais como possíveis saídas.
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