Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função definida por . A tarefa é verificar duas coisas sobre essa função:
  1. Injetora: Se a função é tal que cada valor de entrada gera um valor de saída único .
  2. Sobrejetora: Se a função cobre todo o conjunto dos números reais como possíveis saídas.
Vamos precisar entender os conceitos de injetividade e sobrejetividade para resolver isso. Vamos passo a passo!

Passo 2

Verificando se é injetora:
Uma função é injetora (ou injetiva) se, sempre que , então necessariamente . Em outras palavras, cada valor de saída corresponde a no máximo um valor de entrada.
Vamos ver isso na prática com nossa função .
Observação importante: . Isso significa que . Ou seja, valores positivos e negativos de diferentes geram o mesmo valor de .
Exemplo:
Se , então .
Se , então .
Aqui, temos mas .
Portanto, a função não é injetora.

Passo 3

Verificando se é sobrejetora:
Uma função é sobrejetora (ou sobrejetiva) se, para todo no conjunto de chegada , existe pelo menos um em tal que . Ou seja, a função “cobre” todo o conjunto de chegada.
Vamos analisar nossa função .
Primeiro, vamos ver o intervalo de valores que pode assumir:
  • é sempre não negativo, então .
  • Portanto, .
  • À medida que aumenta, aumenta, e se aproxima de 0, mas nunca chega a 0.
Então, os valores possíveis de estão no intervalo .
Conclusão:
Como o conjunto de chegada é , e nossa função só atinge valores entre 0 e 1, há muitos valores em que não são alcançados por . Por exemplo, ou não têm nenhum que satisfaça .
Portanto, a função não é sobrejetora.

Resposta

A função não é injetora porque valores diferentes de podem gerar o mesmo , e não é sobrejetora porque não cobre todo o conjunto dos números reais como possíveis saídas.

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