Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função
definida por
. Nosso objetivo é verificar duas coisas sobre essa função: (i) se ela é injetora e (ii) se ela é sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de injeção e sobrejeção e aplicar esses conceitos nessa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre injeção. Uma função é injetora se sempre que
, então necessariamente
e
. Ou seja, cada par de entrada gera um único valor de saída.
Nesse nosso caso, estamos somando
e
, onde
é um número racional (
) e
é um número real (
). Vamos ver se diferentes pares
podem gerar o mesmo resultado.
Passo 3
Vamos construir um contrexemplo para mostrar que a função não é injetora. Por exemplo, considere os pares
e
:
Aqui, temos
, mas claramente
. Isso mostra que diferentes entradas podem levar ao mesmo resultado, então a função não é injetora.
Passo 4
Agora, vamos para a sobrejeção. Uma função é sobrejetora se para todo elemento
no conjunto alvo (
), existe pelo menos um par
no domínio (
) tal que
.
Vamos ver se conseguimos encontrar, para qualquer
, valores de
e
que satisfazem
.
Passo 5
Dado qualquer
, podemos escolher um
racional, por exemplo,
(que pertence a
), e então
. Como
é real (
), isso sempre funciona:
Portanto, para qualquer
, existe pelo menos um par
que mapeia para ele. Assim, a função é sobrejetora.
Resposta
A função
não é injetora, mas é sobrejetora.
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é injetora e (ii)
é sobrejetora.
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é injetora e (ii)
é sobrejetora.
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Sejam
e
para todo
. Determine:
;
Seja
para todo
. Determine:
;