Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por . Nosso objetivo é verificar duas coisas sobre essa função: (i) se ela é injetora e (ii) se ela é sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de injeção e sobrejeção e aplicar esses conceitos nessa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre injeção. Uma função é injetora se sempre que , então necessariamente e . Ou seja, cada par de entrada gera um único valor de saída.
Nesse nosso caso, estamos somando e , onde é um número racional ( ) e é um número real ( ). Vamos ver se diferentes pares podem gerar o mesmo resultado.

Passo 3

Vamos construir um contrexemplo para mostrar que a função não é injetora. Por exemplo, considere os pares e :
Aqui, temos , mas claramente . Isso mostra que diferentes entradas podem levar ao mesmo resultado, então a função não é injetora.

Passo 4

Agora, vamos para a sobrejeção. Uma função é sobrejetora se para todo elemento no conjunto alvo ( ), existe pelo menos um par no domínio ( ) tal que .
Vamos ver se conseguimos encontrar, para qualquer , valores de e que satisfazem .

Passo 5

Dado qualquer , podemos escolher um racional, por exemplo, (que pertence a ), e então . Como é real ( ), isso sempre funciona:
Portanto, para qualquer , existe pelo menos um par que mapeia para ele. Assim, a função é sobrejetora.

Resposta

A função não é injetora, mas é sobrejetora.

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Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .
Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .
Sejam e para todo . Determine: ;
Seja para todo . Determine: ;