Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função
definida por
. Nosso objetivo é verificar duas coisas:
- Se a função
é injetora (ou seja, se elementos diferentes no domínio levam a imagens diferentes). - Se a função
é sobrejetora (ou seja, se todo elemento no contradomínio é atingido por algum elemento do domínio).
Para isso, vamos precisar entender bem o que significa ser injetora e sobrejetora e aplicar esses conceitos passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, então necessariamente
e
.
Então, vamos supor que
. Isso significa que:
O que nos dá duas equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para ver se
e
.
Da equação (2):
Substituindo
por
na equação (1):
Usando a equação (3):
Substituindo
na equação (3):
Portanto, mostramos que
e
, o que confirma que
é injetora.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a função
é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo
no contradomínio
, existe pelo menos um
no domínio tal que
.
Ou seja, queremos resolver o sistema:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema para
e
em termos de
e
.
Da equação (5):
Substituindo
da equação (6) na equação (4):
Agora, usando o valor de
na equação (6):
Passo 6
Então, para qualquer
em
, encontramos
e
que satisfazem
.
Isso mostra que todo
no contradomínio é atingido por algum
no domínio, ou seja,
é sobrejetora.
Resposta
A função
é injetora e sobrejetora, ou seja, ela é bijetora.
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é injetora e (ii)
é sobrejetora.
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é sobrejetora.
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é sobrejetora.
.
Sejam
e
para todo
. Determine:
;