Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) f é injetora e (ii) f é sobrejetora. f: R times R R times R, f(x, y)=(3 x-y, x+y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função definida por . Nosso objetivo é verificar duas coisas:
  1. Se a função é injetora (ou seja, se elementos diferentes no domínio levam a imagens diferentes).
  2. Se a função é sobrejetora (ou seja, se todo elemento no contradomínio é atingido por algum elemento do domínio).
Para isso, vamos precisar entender bem o que significa ser injetora e sobrejetora e aplicar esses conceitos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função (3x1 - y1, x1 + y1) = (3x2 - y2, x2 + y2) é injetora. Uma função é injetora se, sempre que 3x1 - y1 = 3x2 - y2 (1) , então necessariamente x1 + y1 = x2 + y2 (2) e .
Então, vamos supor que . Isso significa que:
O que nos dá duas equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para ver se x1 + y1 = x2 + y2 Rightarrow x1 - x2 = y2 - y1 (3) e 3x1 - y1 = 3x2 - y2 Rightarrow 3(x1 - x2) = y1 - y2 .
Da equação (2):
3(y2 - y1) = y1 - y2 Rightarrow 3y2 - 3y1 = y1 - y2
Substituindo Rightarrow 3y2 + y2 = 3y1 + y1 Rightarrow 4y2 = 4y1 Rightarrow y2 = y1 por x1 - x2 = y2 - y1 = 0 Rightarrow x1 = x2 na equação (1):
Usando a equação (3):
Substituindo na equação (3):
Portanto, mostramos que e , o que confirma que é injetora.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a função 3x - y = a (4) é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo x + y = b (5) no contradomínio , existe pelo menos um no domínio tal que .
Ou seja, queremos resolver o sistema:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema para y = b - x (6) e 3x - (b - x) = a Rightarrow 3x - b + x = a Rightarrow 4x = a + b Rightarrow x = a + b4 em termos de y = b - a + b4 = 4b - a - b4 = 3b - a4 e .
Da equação (5):
Substituindo da equação (6) na equação (4):
Agora, usando o valor de na equação (6):

Passo 6

Então, para qualquer em , encontramos e que satisfazem .
Isso mostra que todo no contradomínio é atingido por algum no domínio, ou seja, é sobrejetora.

Resposta

A função é injetora e sobrejetora, ou seja, ela é bijetora.

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