Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função definida por . Nosso objetivo é verificar duas coisas:
  1. Se a função é injetora (ou seja, se elementos diferentes no domínio levam a imagens diferentes).
  2. Se a função é sobrejetora (ou seja, se todo elemento no contradomínio é atingido por algum elemento do domínio).
Para isso, vamos precisar entender bem o que significa ser injetora e sobrejetora e aplicar esses conceitos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então necessariamente e .
Então, vamos supor que . Isso significa que:
O que nos dá duas equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para ver se e .
Da equação (2):
Substituindo por na equação (1):
Usando a equação (3):
Substituindo na equação (3):
Portanto, mostramos que e , o que confirma que é injetora.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo no contradomínio , existe pelo menos um no domínio tal que .
Ou seja, queremos resolver o sistema:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema para e em termos de e .
Da equação (5):
Substituindo da equação (6) na equação (4):
Agora, usando o valor de na equação (6):

Passo 6

Então, para qualquer em , encontramos e que satisfazem .
Isso mostra que todo no contradomínio é atingido por algum no domínio, ou seja, é sobrejetora.

Resposta

A função é injetora e sobrejetora, ou seja, ela é bijetora.

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Sejam e para todo . Determine: ;