Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) f é injetora e (ii) f é sobrejetora. f: Z times R R, f(m, x)=m x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a função definida por . Precisamos verificar duas coisas: (i) se é injetora e (ii) se é sobrejetora. Para isso, vamos lembrar o que significa ser injetora e sobrejetora e aplicar esses conceitos para essa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se f(0, 1) = 0 times 1 = 0 é injetora. Uma função é injetora se, sempre que f(0, 2) = 0 times 2 = 0 , então . Ou seja, não tem dois pares diferentes que dão o mesmo resultado.
Vamos tentar encontrar um contraexemplo. Considere os pares e . Calculando:
Aqui, , mas claramente . Então, encontramos dois pares diferentes que resultam no mesmo valor, o que mostra que não é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se f(1, y) = 1 times y = y é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo no conjunto de chegada , existe pelo menos um par em tal que .
Para qualquer , podemos escolher (que está em ) e (que está em ). Assim:
Dessa forma, para qualquer , encontramos um par que satisfaz . Portanto, é sobrejetora.

Resposta

A função não é injetora, mas é sobrejetora.

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