Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a função definida por . Precisamos verificar duas coisas: (i) se é injetora e (ii) se é sobrejetora. Para isso, vamos lembrar o que significa ser injetora e sobrejetora e aplicar esses conceitos para essa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se é injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então . Ou seja, não tem dois pares diferentes que dão o mesmo resultado.
Vamos tentar encontrar um contraexemplo. Considere os pares e . Calculando:
Aqui, , mas claramente . Então, encontramos dois pares diferentes que resultam no mesmo valor, o que mostra que não é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo no conjunto de chegada , existe pelo menos um par em tal que .
Para qualquer , podemos escolher (que está em ) e (que está em ). Assim:
Dessa forma, para qualquer , encontramos um par que satisfaz . Portanto, é sobrejetora.

Resposta

A função não é injetora, mas é sobrejetora.

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Seja , para todo . Determine: ;