Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a função
definida por
. Precisamos verificar duas coisas: (i) se
é injetora e (ii) se
é sobrejetora. Para isso, vamos lembrar o que significa ser injetora e sobrejetora e aplicar esses conceitos para essa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
é injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, então
. Ou seja, não tem dois pares diferentes que dão o mesmo resultado.
Vamos tentar encontrar um contraexemplo. Considere os pares
e
. Calculando:
Aqui,
, mas claramente
. Então, encontramos dois pares diferentes que resultam no mesmo valor, o que mostra que
não é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo
no conjunto de chegada
, existe pelo menos um par
em
tal que
.
Para qualquer
, podemos escolher
(que está em
) e
(que está em
). Assim:
Dessa forma, para qualquer
, encontramos um par
que satisfaz
. Portanto,
é sobrejetora.
Resposta
A função
não é injetora, mas é sobrejetora.
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é injetora e (ii)
é sobrejetora.
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é injetora e (ii)
é sobrejetora.
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é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Seja
, para todo
. Determine:
;