Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por . A missão aqui é descobrir duas coisas sobre essa função:
  1. Injetora: Será que cada entrada diferente dá um resultado diferente? Em outras palavras, se , então será que ?
  2. Sobrejetora: Será que para todo ponto em tem pelo menos uma entrada em que chega até ele?
Para resolver isso, vamos lembrar o que significa ser injetora e sobrejetora e aplicar esses conceitos à nossa função.

Passo 2

Vamos começar verificando se a função é injetora. Uma função é injetora se entradas diferentes sempre resultam em saídas diferentes. Então, queremos ver se implica que , e .
Vamos supor que . Isso significa que:
Vamos tentar descobrir se isso força , e .
Subtraindo as duas equações, temos:
Isso nos diz que , mas não necessariamente que e . Além disso, não temos informação direta sobre e .
Conclusão: Podemos encontrar diferentes que resultam no mesmo . Por exemplo, se escolhermos e , obviamente são iguais, mas se escolhermos e , teremos:
Hmm, nesse caso os resultados são diferentes. Vamos tentar outro exemplo: e :
Ainda diferentes. Parece que precisei de um exemplo melhor.
Vamos tentar fixar . Então, se , temos:
Então, na verdade, parece que a função pode ser injetora. Mas espera aí, isso só acontece se .
Na verdade, a função não é injetora porque, apesar de parecer que exige , ainda podemos variar de maneira que diferentes e compensem isso, mantendo e constantes.
Por exemplo, considere e :
Oops, ainda diferente. Vamos tentar estabelecer uma relação onde e são iguais, mas e diferentes.
Vamos escolher :
Agora, se tomarmos e , são iguais, mas se tomarmos e :
Ainda difíceis de achar. Vamos tentar um método mais formal.
Se , então:
Podemos resolver para e :
Aqui, pode ser qualquer número real. Então, para um dado , há infinitas soluções de dependendo do valor que escolhemos para . Isso significa que a função não é injetora, pois diferentes podem resultar no mesmo .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo ponto no conjunto de chegada tem pelo menos um ponto no domínio que mapeia para ele.
Então, para qualquer em , queremos encontrar em tal que:
Podemos resolver esse sistema de equações. Vamos escolher livremente, por exemplo, :
Então, é uma solução que mapeia para . Além disso, para qualquer escolha de , podemos ajustar e para manter as equações válidas:
Isso mostra que sempre existe pelo menos uma tripla que mapeia para qualquer . Portanto, a função é sobrejetora.

Resposta

A função não é injetora, mas é sobrejetora.

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Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .
Seja , para todo . Determine: ;
Seja , para todo . Determine para que valores de as seguintes fórmulas são verdadeiras: ;