Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida por
. A missão aqui é descobrir duas coisas sobre essa função:
- Injetora: Será que cada entrada diferente dá um resultado diferente? Em outras palavras, se
, então será que ? - Sobrejetora: Será que para todo ponto em
tem pelo menos uma entrada em que chega até ele?
Para resolver isso, vamos lembrar o que significa ser injetora e sobrejetora e aplicar esses conceitos à nossa função.
Passo 2
Vamos começar verificando se a função é injetora. Uma função é injetora se entradas diferentes sempre resultam em saídas diferentes. Então, queremos ver se
implica que
,
e
.
Vamos supor que
. Isso significa que:
Vamos tentar descobrir se isso força
,
e
.
Subtraindo as duas equações, temos:
Isso nos diz que
, mas não necessariamente que
e
. Além disso, não temos informação direta sobre
e
.
Conclusão: Podemos encontrar diferentes
que resultam no mesmo
. Por exemplo, se escolhermos
e
, obviamente são iguais, mas se escolhermos
e
, teremos:
Hmm, nesse caso os resultados são diferentes. Vamos tentar outro exemplo:
e
:
Ainda diferentes. Parece que precisei de um exemplo melhor.
Vamos tentar fixar
. Então, se
, temos:
Então, na verdade, parece que a função pode ser injetora. Mas espera aí, isso só acontece se
.
Na verdade, a função não é injetora porque, apesar de parecer que exige
, ainda podemos variar
de maneira que diferentes
e
compensem isso, mantendo
e
constantes.
Por exemplo, considere
e
:
Oops, ainda diferente. Vamos tentar estabelecer uma relação onde
e
são iguais, mas
e
diferentes.
Vamos escolher
:
Agora, se tomarmos
e
, são iguais, mas se tomarmos
e
:
Ainda difíceis de achar. Vamos tentar um método mais formal.
Se
, então:
Podemos resolver para
e
:
Aqui,
pode ser qualquer número real. Então, para um dado
, há infinitas soluções de
dependendo do valor que escolhemos para
. Isso significa que a função não é injetora, pois diferentes
podem resultar no mesmo
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo ponto no conjunto de chegada
tem pelo menos um ponto no domínio
que mapeia para ele.
Então, para qualquer
em
, queremos encontrar
em
tal que:
Podemos resolver esse sistema de equações. Vamos escolher
livremente, por exemplo,
:
Então,
é uma solução que mapeia para
. Além disso, para qualquer escolha de
, podemos ajustar
e
para manter as equações válidas:
Isso mostra que sempre existe pelo menos uma tripla
que mapeia para qualquer
. Portanto, a função é sobrejetora.
Resposta
A função
não é injetora, mas é sobrejetora.
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Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
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é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Seja
, para todo
. Determine:
;
Seja
, para todo
. Determine para que valores de
as seguintes fórmulas são verdadeiras:
;