Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para, para cada uma das funções que você tem, provar se ela é injetora e se é sobrejetora. Isso envolve entender um pouquinho sobre funções e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, funcionamento injetora: Uma função é injetora se cada elemento diferente de é mapeado para um elemento diferente de . Em outras palavras, se , então necessariamente . Para provar que uma função é injetora, assumimos que e mostramos que isso força a ser igual a . Se não conseguirmos isso, ou se encontrarmos dois elementos diferentes que mapeiam para o mesmo valor, então a função não é injetora.

Passo 3

Agora, funcionamento sobrejetora: Uma função é sobrejetora se todos os elementos de são atingidos por pelo menos um elemento de . Isso significa que, para cada , existe pelo menos um tal que . Para provar que uma função é sobrejetora, mostramos que não existe nenhum elemento em que fique “fora” da imagem da função. Se encontrarmos algum elemento em que não é mapeado por nenhum elemento de , então a função não é sobrejetora.

Resposta

Então, para cada função que você tiver, siga esses passos:
  1. Verifique se é injetora: Veja se elementos diferentes em mapeiam para elementos diferentes em . Se sim, a função é injetora; se não, ela não é.
  2. Verifique se é sobrejetora: Veja se todo elemento em tem pelo menos um elemento em que mapeia para ele. Se sim, a função é sobrejetora; se não, ela não é.
Lembre-se de usar exemplos específicos ou contra-exemplos para cada caso conforme necessário!

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. § .
Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (m) .
Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .
Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .