Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para, para cada uma das funções que você tem, provar se ela é injetora e se é sobrejetora. Isso envolve entender um pouquinho sobre funções e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, funcionamento injetora: Uma função
é injetora se cada elemento diferente de
é mapeado para um elemento diferente de
. Em outras palavras, se
, então necessariamente
. Para provar que uma função é injetora, assumimos que
e mostramos que isso força
a ser igual a
. Se não conseguirmos isso, ou se encontrarmos dois elementos diferentes que mapeiam para o mesmo valor, então a função não é injetora.
Passo 3
Agora, funcionamento sobrejetora: Uma função
é sobrejetora se todos os elementos de
são atingidos por pelo menos um elemento de
. Isso significa que, para cada
, existe pelo menos um
tal que
. Para provar que uma função é sobrejetora, mostramos que não existe nenhum elemento em
que fique “fora” da imagem da função. Se encontrarmos algum elemento em
que não é mapeado por nenhum elemento de
, então a função não é sobrejetora.
Resposta
Então, para cada função que você tiver, siga esses passos:
- Verifique se é injetora: Veja se elementos diferentes em
mapeiam para elementos diferentes em . Se sim, a função é injetora; se não, ela não é. - Verifique se é sobrejetora: Veja se todo elemento em
tem pelo menos um elemento em que mapeia para ele. Se sim, a função é sobrejetora; se não, ela não é.
Lembre-se de usar exemplos específicos ou contra-exemplos para cada caso conforme necessário!
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.
Para cada uma das funções abaixo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. (m)
.
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é injetora e (ii)
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.