Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) f é injetora e (ii) f é sobrejetora.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para, para cada uma das funções que você tem, provar se ela é injetora e se é sobrejetora. Isso envolve entender um pouquinho sobre funções e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, funcionamento injetora: Uma função f: A B é injetora se cada elemento diferente de A é mapeado para um elemento diferente de B. Em outras palavras, se f(a1) = f(a2), então necessariamente a1 = a2. Para provar que uma função é injetora, assumimos que f(a1) = f(a2) e mostramos que isso força a1 a ser igual a a2. Se não conseguirmos isso, ou se encontrarmos dois elementos diferentes que mapeiam para o mesmo valor, então a função não é injetora.

Passo 3

Agora, funcionamento sobrejetora: Uma função f: A B é sobrejetora se todos os elementos de B são atingidos por pelo menos um elemento de A. Isso significa que, para cada b in B, existe pelo menos um a in A tal que f(a) = b. Para provar que uma função é sobrejetora, mostramos que não existe nenhum elemento em B que fique “fora” da imagem da função. Se encontrarmos algum elemento em B que não é mapeado por nenhum elemento de A, então a função não é sobrejetora.

Resposta

Então, para cada função que você tiver, siga esses passos:
  1. Verifique se é injetora: Veja se elementos diferentes em A mapeiam para elementos diferentes em B. Se sim, a função é injetora; se não, ela não é.
  2. Verifique se é sobrejetora: Veja se todo elemento em B tem pelo menos um elemento em A que mapeia para ele. Se sim, a função é sobrejetora; se não, ela não é.
Lembre-se de usar exemplos específicos ou contra-exemplos para cada caso conforme necessário!

Exercícios relacionados