Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a função , definida por . Nosso objetivo é verificar duas coisas:
  1. Se essa função é injetora (ou seja, se cada entrada diferente gera uma saída diferente).
  2. Se essa função é sobrejetora (ou seja, se todo número natural tem algum número natural que, ao ser multiplicado por 2, resulta nele).
Para resolver isso, vamos lembrar o que significa ser injetora e sobrejetora e aplicar essas definições à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre função injetora. Uma função é injetora se, sempre que , isso implica que . Em outras palavras, não existe dois valores diferentes de entrada que gerem o mesmo valor de saída.
No nosso caso, se temos , isso significa que:
Dividindo ambos os lados por 2:
Então, vimos que se as saídas são iguais, as entradas também são iguais. Portanto, a função é injetora.

Passo 3

Agora, vamos analisar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo elemento no conjunto de chegada ( neste caso), existe pelo menos um elemento no conjunto de partida tal que .
Vamos verificar se isso é verdade para nossa função .
Considere o número natural 3. Será que existe algum número natural que, multiplicado por 2, dê 3?
Mas não é um número natural. Assim, não existe em tal que .
Portanto, nem todo número natural tem um pre-image na função , o que significa que a função não é sobrejetora.

Resposta

A função é injetora, mas não é sobrejetora.

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