Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a função
, definida por
. Nosso objetivo é verificar duas coisas:
- Se essa função é injetora (ou seja, se cada entrada diferente gera uma saída diferente).
- Se essa função é sobrejetora (ou seja, se todo número natural tem algum número natural que, ao ser multiplicado por 2, resulta nele).
Para resolver isso, vamos lembrar o que significa ser injetora e sobrejetora e aplicar essas definições à função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre função injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, isso implica que
. Em outras palavras, não existe dois valores diferentes de entrada que gerem o mesmo valor de saída.
No nosso caso, se temos
, isso significa que:
Dividindo ambos os lados por 2:
Então, vimos que se as saídas são iguais, as entradas também são iguais. Portanto, a função
é injetora.
Passo 3
Agora, vamos analisar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo elemento
no conjunto de chegada (
neste caso), existe pelo menos um elemento
no conjunto de partida tal que
.
Vamos verificar se isso é verdade para nossa função
.
Considere o número natural 3. Será que existe algum número natural
que, multiplicado por 2, dê 3?
Mas
não é um número natural. Assim, não existe
em
tal que
.
Portanto, nem todo número natural tem um pre-image na função
, o que significa que a função não é sobrejetora.
Resposta
A função
é injetora, mas não é sobrejetora.
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