Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .

Passo 1

No enunciado, temos a função , definida por . Precisamos verificar se essa função é (i) injetora e (ii) sobrejetora. Para isso, vamos lembrar o que significam essas propriedades e analisar a função passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função injetora. Uma função é injetora se, sempre que , isso implica que . Ou seja, cada valor no contradomínio é mapeado por no máximo um valor no domínio.

Passo 3

Vamos analisar a função . Para facilitar, vamos considerar dois casos: quando é positivo (ou zero) e quando é negativo.

Passo 4

Caso 1:
Se é maior ou igual a zero, então . Substituindo na função:
Portanto, para todo , temos .

Passo 5

Caso 2:
Se é negativo, então . Substituindo na função:
Então, para , a função é .

Passo 6

Agora, vamos verificar se a função é injetora. Observamos que para qualquer , . Isso significa que todos esses valores de mapeiam para o mesmo valor no contradomínio. Portanto, existem diferentes valores de que produzem o mesmo , o que viola a condição de injetividade.

Passo 7

Em seguida, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se para todo valor no contradomínio , existe pelo menos um no domínio tal que .

Passo 8

  • Para , qualquer satisfaz .
  • Para , podemos resolver , o que dá . Como , também será negativo, o que está dentro do domínio considerado.
  • Contudo, para , não existe nenhum que satisfaça , pois nunca é positivo.

Resposta

A função não é injetora e não é sobrejetora.

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