Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Passo 1
No enunciado, temos a função
, definida por
. Precisamos verificar se essa função é (i) injetora e (ii) sobrejetora. Para isso, vamos lembrar o que significam essas propriedades e analisar a função passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, isso implica que
. Ou seja, cada valor no contradomínio é mapeado por no máximo um valor no domínio.
Passo 3
Vamos analisar a função
. Para facilitar, vamos considerar dois casos: quando
é positivo (ou zero) e quando
é negativo.
Passo 4
Caso 1:
Se
é maior ou igual a zero, então
. Substituindo na função:
Portanto, para todo
, temos
.
Passo 5
Caso 2:
Se
é negativo, então
. Substituindo na função:
Então, para
, a função é
.
Passo 6
Agora, vamos verificar se a função é injetora. Observamos que para qualquer
,
. Isso significa que todos esses valores de
mapeiam para o mesmo valor no contradomínio. Portanto, existem diferentes valores de
que produzem o mesmo
, o que viola a condição de injetividade.
Passo 7
Em seguida, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se para todo valor
no contradomínio
, existe pelo menos um
no domínio tal que
.
Passo 8
- Para
, qualquer satisfaz . - Para
, podemos resolver , o que dá . Como , também será negativo, o que está dentro do domínio considerado. - Contudo, para
, não existe nenhum que satisfaça , pois nunca é positivo.
Resposta
A função
não é injetora e não é sobrejetora.
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