Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
!
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função
, definida por
. Nosso objetivo é verificar duas coisas:
- Se a função
é injetora. - Se a função
é sobrejetora.
Para isso, vamos entender o que significa ser injetora e sobrejetora e aplicar esses conceitos à função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre função injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, então
. Ou seja, cada elemento no conjunto de chegada é imagem de, no máximo, um elemento do conjunto de partida. Vamos ver se isso acontece na nossa função.
Passo 3
Na nossa função
, vamos pensar em dois números diferentes que, quando elevados ao quadrado, dão o mesmo resultado. Por exemplo, considere
e
:
Aqui, temos que
mas
. Isso significa que dois números diferentes de
estão mapeando para o mesmo número em
.
Passo 4
Como encontramos dois elementos distintos em
que resultam na mesma imagem em
, podemos concluir que a função
não é injetora.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo elemento
no conjunto de chegada
, existe pelo menos um elemento
em
tal que
. Basicamente, precisamos ver se todo número natural é quadrado de algum inteiro.
Passo 6
Vamos considerar o número natural 2. Existe algum inteiro
tal que
? Vamos testar:
Vemos que nenhum inteiro ao quadrado resulta em 2. Isso significa que 2 não está na imagem da função
.
Passo 7
Como encontramos pelo menos um elemento em
que não é imagem de nenhum elemento em
pela função
, podemos concluir que a função
não é sobrejetora.
Resposta
A função
não é injetora, pois diferentes números inteiros (
e
) podem ter o mesmo quadrado. Além disso, não é sobrejetora, já que existem números naturais que não s��o quadrados de nenhum inteiro, como o 2.
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