Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. !

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função , definida por . Nosso objetivo é verificar duas coisas:
  1. Se a função é injetora.
  2. Se a função é sobrejetora.
Para isso, vamos entender o que significa ser injetora e sobrejetora e aplicar esses conceitos à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre função injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então . Ou seja, cada elemento no conjunto de chegada é imagem de, no máximo, um elemento do conjunto de partida. Vamos ver se isso acontece na nossa função.

Passo 3

Na nossa função , vamos pensar em dois números diferentes que, quando elevados ao quadrado, dão o mesmo resultado. Por exemplo, considere e :
Aqui, temos que mas . Isso significa que dois números diferentes de estão mapeando para o mesmo número em .

Passo 4

Como encontramos dois elementos distintos em que resultam na mesma imagem em , podemos concluir que a função não é injetora.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo elemento no conjunto de chegada , existe pelo menos um elemento em tal que . Basicamente, precisamos ver se todo número natural é quadrado de algum inteiro.

Passo 6

Vamos considerar o número natural 2. Existe algum inteiro tal que ? Vamos testar:
Vemos que nenhum inteiro ao quadrado resulta em 2. Isso significa que 2 não está na imagem da função .

Passo 7

Como encontramos pelo menos um elemento em que não é imagem de nenhum elemento em pela função , podemos concluir que a função não é sobrejetora.

Resposta

A função não é injetora, pois diferentes números inteiros ( e ) podem ter o mesmo quadrado. Além disso, não é sobrejetora, já que existem números naturais que não s��o quadrados de nenhum inteiro, como o 2.

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