Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar a função
, definida por
. A gente precisa verificar duas coisas: (i) se essa função é injetora e (ii) se ela é sobrejetora. Para isso, vamos lembrar o que significa cada termo: uma função é injetora se elementos diferentes no domínio dão resultados diferentes, e é sobrejetora se todo elemento do contradomínio é atingido por algum elemento do domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Isso quer dizer que, se
, então necessariamente
. Vamos testar com um exemplo: suponha que
,
e
,
. Então,
Aqui, dois pares diferentes
e
dão o mesmo resultado
. Isso mostra que a função não é injetora porque existe pelo menos um caso onde
mas
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Isso significa que para qualquer número real
, existe pelo menos um par
em
tal que
. Vamos tentar resolver a equação
para
e
.
Podemos escolher
, então a equação fica
. Isso mostra que para qualquer
, podemos escolher
e
, e teremos
. Assim, todo número real
pode ser alcançado por algum par
, o que significa que a função é sobrejetora.
Resposta
A função
não é injetora, mas é sobrejetora.
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é injetora e (ii)
é sobrejetora.
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é sobrejetora.
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