Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar a função , definida por . A gente precisa verificar duas coisas: (i) se essa função é injetora e (ii) se ela é sobrejetora. Para isso, vamos lembrar o que significa cada termo: uma função é injetora se elementos diferentes no domínio dão resultados diferentes, e é sobrejetora se todo elemento do contradomínio é atingido por algum elemento do domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Isso quer dizer que, se , então necessariamente . Vamos testar com um exemplo: suponha que , e , . Então,
Aqui, dois pares diferentes e dão o mesmo resultado . Isso mostra que a função não é injetora porque existe pelo menos um caso onde mas .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Isso significa que para qualquer número real , existe pelo menos um par em tal que . Vamos tentar resolver a equação para e .
Podemos escolher , então a equação fica . Isso mostra que para qualquer , podemos escolher e , e teremos . Assim, todo número real pode ser alcançado por algum par , o que significa que a função é sobrejetora.

Resposta

A função não é injetora, mas é sobrejetora.

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