Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Passo 1
Vamos analisar a função
definida por
. Nosso objetivo é verificar duas propriedades importantes: (i) se
é injetora e (ii) se
é sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, isso implica que
. Ou seja, cada par
mapeia para um único par no resultado.
Passo 3
Assumimos que
. Isso significa que:
Vamos resolver esse sistema para ver se
e
.
Passo 4
Da segunda equação, temos:
Substituindo
na primeira equação:
Simplificando:
Essa equação nem sempre garante que
. Por exemplo, se
e
, podemos ver que:
Mas se escolhermos
e
, então temos:
Isso sugere que, para alguns casos, a função pode ser injetora, mas não para todos. Entretanto, consideramos que existe pelo menos um caso onde
mas
, então
não é injetora.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo
, existe pelo menos um
tal que
.
Passo 6
Precisamos resolver o sistema:
Da segunda equação, isolamos
:
Substituindo na primeira equação:
Essa é uma equação quadrática em
. Para que haja soluções reais, o discriminante
deve ser não negativo:
Passo 7
Portanto, para qualquer
tal que
, existe pelo menos um
que satisfaz
. Contudo, se
, não existe solução real para
e
.
Resposta
A função
não é injetora e não é sobrejetora.
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