Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .

Passo 1

Vamos analisar a função definida por . Nosso objetivo é verificar duas propriedades importantes: (i) se é injetora e (ii) se é sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é injetora. Uma função é injetora se, sempre que , isso implica que . Ou seja, cada par mapeia para um único par no resultado.

Passo 3

Assumimos que . Isso significa que:
Vamos resolver esse sistema para ver se e .

Passo 4

Da segunda equação, temos:
Substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Essa equação nem sempre garante que . Por exemplo, se e , podemos ver que:
ã
Mas se escolhermos e , então temos:
Isso sugere que, para alguns casos, a função pode ser injetora, mas não para todos. Entretanto, consideramos que existe pelo menos um caso onde mas , então não é injetora.

Passo 5

Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo , existe pelo menos um tal que .

Passo 6

Precisamos resolver o sistema:
Da segunda equação, isolamos :
Substituindo na primeira equação:
Essa é uma equação quadrática em . Para que haja soluções reais, o discriminante deve ser não negativo:

Passo 7

Portanto, para qualquer tal que , existe pelo menos um que satisfaz . Contudo, se , não existe solução real para e .

Resposta

A função não é injetora e não é sobrejetora.

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