Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) f é injetora e (ii) f é sobrejetora. f: R^2 R^2, f(x, y)=(x^2+y, x-y).

Passo 1

Vamos analisar a função definida por . Nosso objetivo é verificar duas propriedades importantes: (i) se é injetora e (ii) se é sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é injetora. Uma função é injetora se, sempre que , isso implica que . Ou seja, cada par mapeia para um único par no resultado.

Passo 3

Assumimos que x1^2 + y1 = x2^2 + y2 x1 - y1 = x2 - y2 . Isso significa que:
Vamos resolver esse sistema para ver se e .

Passo 4

Da segunda equação, temos:
x1 - y1 = x2 - y2 implies x1 - x2 = y1 - y2 (1)
Substituindo x1^2 + y1 = x2^2 + y1 - (x1 - x2) na primeira equação:
x1^2 = x2^2 - x1 + x2
Simplificando:
1^2 = (-1)^2 - 1 + (-1) implies 1 = 1 -1 -1 implies 1 = -1 (não verdadeiro)
Essa equação nem sempre garante que 0^2 = 0^2 - 0 + 0 implies 0 = 0 . Por exemplo, se e , podemos ver que:
ã
Mas se escolhermos e , então temos:
Isso sugere que, para alguns casos, a função pode ser injetora, mas não para todos. Entretanto, consideramos que existe pelo menos um caso onde mas , então não é injetora.

Passo 5

Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo , existe pelo menos um tal que .

Passo 6

Precisamos resolver o sistema:
x^2 + y = a x - y = b
Da segunda equação, isolamos y = x - b :
x^2 + (x - b) = a implies x^2 + x - b = a implies x^2 + x - (a + b) = 0
Substituindo na primeira equação:
Essa é uma equação quadrática em . Para que haja soluções reais, o discriminante deve ser não negativo:

Passo 7

Portanto, para qualquer tal que , existe pelo menos um que satisfaz . Contudo, se , não existe solução real para e .

Resposta

A função não é injetora e não é sobrejetora.

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