Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Passo 1
Vamos analisar a função
, definida por
. Nosso objetivo é verificar duas propriedades dessa função:
- Injetora: Uma função é injetora se cada valor de saída é produzido por um único valor de entrada.
- Sobrejetora: Uma função é sobrejetora se todo valor no conjunto de chegada
é atingido por algum valor do domínio.
Para isso, vamos usar conceitos básicos de funções injetoras e sobrejetoras, além de analisar a expressão da função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é injetora. Para isso, precisamos mostrar que se
, então
.
Suponha que
:
Como os denominadores são iguais e diferentes de zero, podemos concluir que:
Portanto,
é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função
é sobrejetora. Precisamos mostrar que para qualquer
, existe um
tal que
.
Começamos com a equação:
Vamos resolver para
:
Para
estar no domínio
, precisamos que
(pois se
,
não está definido). Portanto, para todo
, existe um
que satisfaz
.
No entanto, quando
, não existe nenhum
real que satisfaça
.
Resposta
A função
é injetora, mas não é sobrejetora porque não existe
tal que
.
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é injetora e (ii)
é sobrejetora.
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é injetora e (ii)
é sobrejetora.
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é injetora e (ii)
é sobrejetora.
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Seja
com raiz no intervalo
. Utilizando o Método do Ponto Fixo, construa uma função de iteração
e calcule a raiz até a
iteração.