Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .

Passo 1

Vamos analisar a função , definida por . Nosso objetivo é verificar duas propriedades dessa função:
  1. Injetora: Uma função é injetora se cada valor de saída é produzido por um único valor de entrada.
  2. Sobrejetora: Uma função é sobrejetora se todo valor no conjunto de chegada é atingido por algum valor do domínio.
Para isso, vamos usar conceitos básicos de funções injetoras e sobrejetoras, além de analisar a expressão da função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Para isso, precisamos mostrar que se , então .
Suponha que :
Como os denominadores são iguais e diferentes de zero, podemos concluir que:
Portanto, é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Precisamos mostrar que para qualquer , existe um tal que .
Começamos com a equação:
Vamos resolver para :
Para estar no domínio , precisamos que (pois se , não está definido). Portanto, para todo , existe um que satisfaz .
No entanto, quando , não existe nenhum real que satisfaça .

Resposta

A função é injetora, mas não é sobrejetora porque não existe tal que .

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Seja com raiz no intervalo . Utilizando o Método do Ponto Fixo, construa uma função de iteração e calcule a raiz até a iteração.