Seja
com raiz no intervalo
. Utilizando o Método do Ponto Fixo, construa uma função de iteração
e calcule a raiz até a
iteração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e sabemos que ela tem uma raiz no intervalo
. Nosso objetivo aqui é usar o Método do Ponto Fixo para encontrar essa raiz aproximada até a quarta iteração. Para isso, vamos precisar entender como converter a equação
em uma forma que nos permita iterar e chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação
em uma forma de ponto fixo, ou seja,
. Para isso, podemos isolar
de diferentes maneiras. Uma opção simples é:
Então, nossa função de iteração será:
Passo 3
Agora, vamos escolher um valor inicial
. Como sabemos que a raiz está entre 0 e 1, podemos começar com
. A partir daí, vamos aplicar a função
para encontrar os próximos valores.
Passo 4
Vamos realizar as iterações:
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Resposta
Após quatro iterações usando o Método do Ponto Fixo, a raiz aproximada da função
no intervalo
é
.
Exercícios relacionados
Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Dada a equação polinomial
Determine intervalos onde a equação possui uma única raiz real.
Use o Método da Posição Falsa para determinar o zero real das equações. Use como critério de parada
ou