Seja f(x)=e^x-4 x^2 com raiz no intervalo (0,1). Utilizando o Método do Ponto Fixo, construa uma função de iteração varphi(x) e calcule a raiz até a 4^circ iteração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e sabemos que ela tem uma raiz no intervalo . Nosso objetivo aqui é usar o Método do Ponto Fixo para encontrar essa raiz aproximada até a quarta iteração. Para isso, vamos precisar entender como converter a equação em uma forma que nos permita iterar e chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação x = raize^x4 em uma forma de ponto fixo, ou seja, varphi(x) = raize^x4 . Para isso, podemos isolar de diferentes maneiras. Uma opção simples é:
Então, nossa função de iteração será:

Passo 3

Agora, vamos escolher um valor inicial . Como sabemos que a raiz está entre 0 e 1, podemos começar com . A partir daí, vamos aplicar a função para encontrar os próximos valores.

Passo 4

Vamos realizar as iterações:
Iteração 1:
x1 = varphi(x0) = raize^0.54 approx raiz1.64874 approx raiz0.4122 approx 0.642
Iteração 2:
x2 = varphi(x1) = raize^0.6424 approx raiz1.90054 approx raiz0.4751 approx 0.689
Iteração 3:
x3 = varphi(x2) = raize^0.6894 approx raiz1.9924 approx raiz0.498 approx 0.706
Iteração 4:
x4 = varphi(x3) = raize^0.7064 approx raiz2.0274 approx raiz0.5068 approx 0.712

Resposta

Após quatro iterações usando o Método do Ponto Fixo, a raiz aproximada da função no intervalo é .

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