Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por
. Precisamos verificar duas coisas:
- Injetora: Se cada par
mapeia para um único par no resultado, ou seja, se implica que e . - Sobrejetora: Se todo par
no pode ser alcançado por algum na função .
Vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e sobrejetora e como provar essas propriedades usando exemplos ou contraexemplos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é injetora. Para isso, vamos supor que
e ver se isso nos força a ter
e
.
Temos:
Então, se
, temos:
Já sabemos que
, então substituindo na primeira equação:
Isso nos diz que
ou
. Portanto, não necessariamente
, a menos que consideremos limitações adicionais.
Passo 3
Como encontramos que
, isso significa que podemos ter
. Por exemplo, se tomarmos
e
, então:
E também:
Aqui,
mas
. Isso mostra que a função não é injetora, já que diferentes pares
estão mapeando para o mesmo resultado.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a função
é sobrejetora. Precisamos ver se para qualquer par
em
, existe um par
tal que
.
Isso significa que precisamos resolver o sistema:
Substituindo
na primeira equação:
Para que
seja real,
deve ser maior ou igual a zero, ou seja,
.
Passo 5
Então, para que a função seja sobrejetora, deve ser possível para todo
em
encontrar um
real que satisfaça a equação
. Porém, se
, não existe
real que torne essa igualdade verdadeira, pois não podemos ter um quadrado de
sendo negativo.
Por exemplo, se escolhermos
e
, a equação fica
, o que não tem solução real. Portanto, nem todo par
pode ser alcançado pela função
, o que significa que ela NÃO é sobrejetora.
Resposta
A função
não é injetora pois diferentes pares
podem mapear para o mesmo resultado, e não é sobrejetora pois nem todo par
em
pode ser alcançado pela função.
Exercícios relacionados
Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Seja
com raiz no intervalo
. Utilizando o Método do Ponto Fixo, construa uma função de iteração
e calcule a raiz até a
iteração.
Dada a equação polinomial
Determine intervalos onde a equação possui uma única raiz real.