Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) f é injetora e (ii) f é sobrejetora. f: R^2 R^2, f(x, y)=(x^2+y^2, x).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por . Precisamos verificar duas coisas:
  1. Injetora: Se cada par mapeia para um único par no resultado, ou seja, se implica que e .
  2. Sobrejetora: Se todo par no pode ser alcançado por algum na função .
Vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e sobrejetora e como provar essas propriedades usando exemplos ou contraexemplos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função f(x1, y1) = (x1^2 + y1^2, x1) é injetora. Para isso, vamos supor que f(x2, y2) = (x2^2 + y2^2, x2) e ver se isso nos força a ter x1^2 + y1^2 = x2^2 + y2^2 e x1 = x2 .
Temos:
x1^2 + y1^2 = x1^2 + y2^2 implies y1^2 = y2^2
Então, se , temos:
Já sabemos que , então substituindo na primeira equação:
Isso nos diz que ou . Portanto, não necessariamente , a menos que consideremos limitações adicionais.

Passo 3

Como encontramos que f(1, 2) = (1^2 + 2^2, 1) = (5, 1) , isso significa que podemos ter f(1, -2) = (1^2 + (-2)^2, 1) = (5, 1) . Por exemplo, se tomarmos e , então:
E também:
Aqui, mas . Isso mostra que a função não é injetora, já que diferentes pares estão mapeando para o mesmo resultado.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a função x^2 + y^2 = a é sobrejetora. Precisamos ver se para qualquer par x = b em b^2 + y^2 = a implies y^2 = a - b^2 , existe um par tal que .
Isso significa que precisamos resolver o sistema:
Substituindo na primeira equação:
Para que seja real, deve ser maior ou igual a zero, ou seja, .

Passo 5

Então, para que a função seja sobrejetora, deve ser possível para todo em encontrar um real que satisfaça a equação . Porém, se , não existe real que torne essa igualdade verdadeira, pois não podemos ter um quadrado de sendo negativo.
Por exemplo, se escolhermos e , a equação fica , o que não tem solução real. Portanto, nem todo par pode ser alcançado pela função , o que significa que ela NÃO é sobrejetora.

Resposta

A função não é injetora pois diferentes pares podem mapear para o mesmo resultado, e não é sobrejetora pois nem todo par em pode ser alcançado pela função.

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