Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
, definida por
. Nosso objetivo é verificar duas coisas sobre essa função: (i) se ela é injetora e (ii) se ela é sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas propriedades e aplicar esses conceitos à função que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre função injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, então
. Basicamente, pra cada saída, tem apenas uma entrada correspondente. Então, vamos ver se isso vale para nossa função
.
Passo 3
Vamos supor que
. Isso significa que
. Se a gente elevar ambos os lados ao quadrado pra eliminar a raiz, temos
. Mas isso implica que
pode ser igual a
ou que
. Ou seja, podem existir dois números diferentes
e
que dão o mesmo valor de
. Por exemplo,
e
, mas
.
Passo 4
Como encontramos um exemplo onde
mas
, concluímos que a função não é injetora. A existência de valores diferentes que produzem a mesma saída mostra que a injetividade não se mantém.
Passo 5
Agora, vamos analisar a função sobrejetora. Uma função é sobrejetora se para todo
no conjunto de chegada
, existe pelo menos um
no domínio
tal que
. Em outras palavras, todo número real precisa ser atingido pela função.
Passo 6
Vamos ver se isso acontece com
. Sabemos que a raiz quadrada de um número é sempre não negativa, ou seja,
para todo
. Mas no conjunto de chegada temos todos os números reais, incluindo os negativos. Não existe nenhum
em
tal que
dê um número negativo. Por exemplo, não há
tal que
.
Resposta
A função
não é injetora e não é sobrejetora.
Exercícios relacionados
Use o Método da Posição Falsa para determinar o zero real das equações. Use como critério de parada
ou
Dada a equação polinomial
Determine intervalos onde a equação possui uma única raiz real.
Obtenha o valor mínimo da função
com o auxílio de qualquer método numérico, efetuando até a
iteração.
Verifique que a equação
tem uma raiz real e calcule a mesma usando o Método da Bisseção com precisão
. Use arredondamento com 4 casas decimais.