Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função , definida por . Nosso objetivo é verificar duas coisas sobre essa função: (i) se ela é injetora e (ii) se ela é sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas propriedades e aplicar esses conceitos à função que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre função injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então . Basicamente, pra cada saída, tem apenas uma entrada correspondente. Então, vamos ver se isso vale para nossa função .

Passo 3

Vamos supor que . Isso significa que . Se a gente elevar ambos os lados ao quadrado pra eliminar a raiz, temos . Mas isso implica que pode ser igual a ou que . Ou seja, podem existir dois números diferentes e que dão o mesmo valor de . Por exemplo, e , mas .

Passo 4

Como encontramos um exemplo onde mas , concluímos que a função não é injetora. A existência de valores diferentes que produzem a mesma saída mostra que a injetividade não se mantém.

Passo 5

Agora, vamos analisar a função sobrejetora. Uma função é sobrejetora se para todo no conjunto de chegada , existe pelo menos um no domínio tal que . Em outras palavras, todo número real precisa ser atingido pela função.

Passo 6

Vamos ver se isso acontece com . Sabemos que a raiz quadrada de um número é sempre não negativa, ou seja, para todo . Mas no conjunto de chegada temos todos os números reais, incluindo os negativos. Não existe nenhum em tal que dê um número negativo. Por exemplo, não há tal que .

Resposta

A função não é injetora e não é sobrejetora.

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