Obtenha o valor mínimo da função com o auxílio de qualquer método numérico, efetuando até a iteração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor mínimo da função usando um método numérico, fazendo até a quarta iteração. Para isso, vamos usar o Método de Newton-Raphson, que é ótimo para encontrar raízes de funções, ou seja, pontos onde a derivada da nossa função é zero, indicando possíveis mínimos ou máximos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto. Calculando:

Passo 3

Agora, queremos encontrar o ponto onde , porque esse ponto pode ser um mínimo. Então, vamos resolver a equação:
Mas como queremos usar o Método de Newton-Raphson, vamos configurar isso. A fórmula do método é:
Precisamos da segunda derivada :

Passo 4

Vamos escolher um valor inicial . Vamos supor . Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:
Iteração 1:

Passo 5

Iteração 2:

Passo 6

Iteração 3:

Passo 7

Iteração 4:

Resposta

Após quatro iterações usando o Método de Newton-Raphson, o valor mínimo da função ocorre aproximadamente em . O valor mínimo da função é:
Então, o valor mínimo é aproximadamente .

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