Obtenha o valor mínimo da função f(x)=2 e^x-6 x-1 com o auxílio de qualquer método numérico, efetuando até a 4^circ iteração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor mínimo da função usando um método numérico, fazendo até a quarta iteração. Para isso, vamos usar o Método de Newton-Raphson, que é ótimo para encontrar raízes de funções, ou seja, pontos onde a derivada da nossa função é zero, indicando possíveis mínimos ou máximos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f'(x) = ddx(2 e^x - 6x - 1) = 2 e^x - 6 . A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto. Calculando:

Passo 3

Agora, queremos encontrar o ponto onde 2 e^x - 6 = 0 Rightarrow e^x = 3 Rightarrow x = ln(3) , porque esse ponto pode ser um mínimo. Então, vamos resolver a equação:
xn+1 = xn - f'(xn)f''(xn)
Mas como queremos usar o Método de Newton-Raphson, vamos configurar isso. A fórmula do método é:
f''(x) = ddx(2 e^x - 6) = 2 e^x
Precisamos da segunda derivada :

Passo 4

Vamos escolher um valor inicial f'(1) = 2 e^1 - 6 approx 2 times 2.7183 - 6 = 5.4366 - 6 = -0.5634 . Vamos supor f''(1) = 2 e^1 approx 5.4366 . Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:
Iteração 1:
x1 = 1 - -0.56345.4366 approx 1 + 0.1037 = 1.1037

Passo 5

Iteração 2:
f'(1.1037) = 2 e^1.1037 - 6 approx 2 times 3.0128 - 6 = 6.0256 - 6 = 0.0256
f''(1.1037) = 2 e^1.1037 approx 6.0256
x2 = 1.1037 - 0.02566.0256 approx 1.1037 - 0.0042 = 1.0995

Passo 6

Iteração 3:
f'(1.0995) = 2 e^1.0995 - 6 approx 2 times 3.0002 - 6 = 6.0004 - 6 = 0.0004
f''(1.0995) = 2 e^1.0995 approx 6.0004
x3 = 1.0995 - 0.00046.0004 approx 1.0995 - 0.0001 = 1.0994

Passo 7

Iteração 4:
f'(1.0994) = 2 e^1.0994 - 6 approx 2 times 3.0000 - 6 = 6.0000 - 6 = 0.0000
f''(1.0994) = 2 e^1.0994 approx 6.0000
x4 = 1.0994 - 0.00006.0000 = 1.0994

Resposta

Após quatro iterações usando o Método de Newton-Raphson, o valor mínimo da função f(1.0994) = 2 e^1.0994 - 6 times 1.0994 - 1 approx 6.0000 - 6.5964 - 1 = -1.5964 ocorre aproximadamente em . O valor mínimo da função é:
Então, o valor mínimo é aproximadamente .

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