Obtenha o valor mínimo da função
com o auxílio de qualquer método numérico, efetuando até a
iteração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor mínimo da função
usando um método numérico, fazendo até a quarta iteração. Para isso, vamos usar o Método de Newton-Raphson, que é ótimo para encontrar raízes de funções, ou seja, pontos onde a derivada da nossa função é zero, indicando possíveis mínimos ou máximos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto. Calculando:
Passo 3
Agora, queremos encontrar o ponto onde
, porque esse ponto pode ser um mínimo. Então, vamos resolver a equação:
Mas como queremos usar o Método de Newton-Raphson, vamos configurar isso. A fórmula do método é:
Precisamos da segunda derivada
:
Passo 4
Vamos escolher um valor inicial
. Vamos supor
. Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:
Iteração 1:
Passo 5
Iteração 2:
Passo 6
Iteração 3:
Passo 7
Iteração 4:
Resposta
Após quatro iterações usando o Método de Newton-Raphson, o valor mínimo da função
ocorre aproximadamente em
. O valor mínimo da função é:
Então, o valor mínimo é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Use o Método da Posição Falsa para determinar o zero real das equações. Use como critério de parada
ou
Verifique que a equação
tem uma raiz real e calcule a mesma usando o Método da Bisseção com precisão
. Use arredondamento com 4 casas decimais.
Dada a equação polinomial
Usando o Método da Secante, calcule uma aproximação para a menor raiz positiva da equação com precisão