Use o Método da Posição Falsa para determinar o zero real das equações. Use como critério de parada |f(xk)| <= 0.001 ou |xk-xk-1| mid <= 0.001 x^3-x^2+1=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando o Método da Posição Falsa, também conhecido como Regula Falsi. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de que fazem a função igual a zero. Para isso, precisamos encontrar dois pontos onde a função assume sinais opostos (um positivo e outro negativo). A partir daí, vamos iterar para aproximar a raiz desejada usando a fórmula do Método da Posição Falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher dois valores de f(0) = 0^3 - 0^2 + 1 = 1 (positivo) , digamos f(1) = 1^3 - 1^2 + 1 = 1 (positivo) e f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 + 1 = -1 - 1 + 1 = -1 (negativo) , onde e tenham sinais opostos. Vamos testar alguns valores:
Então, temos (positivo) e (negativo). Isso significa que a raiz está entre e .

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula do Método da Posição Falsa para encontrar uma nova aproximação x2 = x1 - f(x1)(x1 - x0)f(x1) - f(x0) :
x2 = 0 - f(0)(0 - (-1))f(0) - f(-1) = 0 - 1 times 11 - (-1) = 0 - 12 = -0,5
Substituindo os valores que temos:

Passo 4

Calculamos f(-0,5) = (-0,5)^3 - (-0,5)^2 + 1 = -0,125 - 0,25 + 1 = 0,625 (positivo) :
Agora, como (positivo) e (negativo), atualizamos nossos pontos: e .

Passo 5

Aplicamos novamente a fórmula para encontrar x3 = x1 - f(x1)(x1 - x0)f(x1) - f(x0) = -0,5 - 0,625 times (-0,5 - 0)0,625 - (-1) = -0,5 - -0,31251,625 approx -0,5 + 0,1923 = -0,3077 :

Passo 6

Calculamos f(-0,3077) = (-0,3077)^3 - (-0,3077)^2 + 1 approx -0,029 - 0,094 + 1 = 0,877 (positivo) :
Como continua positivo e precisamos de sinais opostos, atualizamos e .

Passo 7

Continuamos esse processo de iterar usando a fórmula até que a diferença entre as aproximações seja menor ou igual a ou que . Repetindo os passos acima, refinamos cada vez mais a aproximação da raiz.

Resposta

Aplicando o Método da Posição Falsa, a raiz real da equação é aproximadamente .

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