Verifique que a equação x^3-10=0 tem uma raiz real e calcule a mesma usando o Método da Bisseção com precisão epsilon=|xk+1-xk|<0.01. Use arredondamento com 4 casas decimais.

Passo 1

Então, temos a equação e precisamos verificar se ela tem uma raiz real. Depois, vamos calcular essa raiz usando o Método da Bisseção com uma precisão de , arredondando os resultados para 4 casas decimais. Para isso, vamos precisar entender o Método da Bisseção, que é uma técnica para encontrar raízes de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação tem uma raiz real. Para isso, consideramos a função . Sabemos que se e têm sinais opostos, então, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz real no intervalo .

Passo 3

Vamos escolher dois valores para e de forma que e tenham sinais opostos. Vamos testar:
  • Para :
  • Para :
Como e têm sinais opostos, sabemos que existe uma raiz real no intervalo .

Passo 4

Agora, aplicamos o Método da Bisseção. Calculamos o ponto médio c = a + b2 = 2 + 32 = 2.5 do intervalo f(2.5) = (2.5)^3 - 10 = 15.625 - 10 = 5.625 :
Calculamos :
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 5

Repetimos o processo com o novo intervalo c = 2 + 2.52 = 2.25 :
f(2.25) = (2.25)^3 - 10 = 11.3906 - 10 = 1.3906
Calculamos :
Como é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 6

Continuamos com o intervalo c = 2 + 2.252 = 2.125 :
f(2.125) = (2.125)^3 - 10 = 9.5947 - 10 = -0.4053
Calculamos :
Agora, é negativo, então a raiz está no intervalo .

Passo 7

Com o intervalo c = 2.125 + 2.252 = 2.1875 :
f(2.1875) = (2.1875)^3 - 10 = 10.4219 - 10 = 0.4219
Calculamos :
Como é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 8

Continuando com o intervalo c = 2.125 + 2.18752 = 2.15625 :
f(2.15625) = (2.15625)^3 - 10 = 10.0137 - 10 = 0.0137
Calculamos :
Como é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 9

Agora, com o intervalo c = 2.125 + 2.156252 = 2.1406 :
f(2.1406) = (2.1406)^3 - 10 approx 9.8242 - 10 = -0.1758
Calculamos :
Como é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 10

Com o intervalo c = 2.1406 + 2.156252 = 2.1484 :
f(2.1484) = (2.1484)^3 - 10 approx 9.9155 - 10 = -0.0845
Calculamos :
Como é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 11

Continuando com o intervalo c = 2.1484 + 2.156252 = 2.1523 :
f(2.1523) = (2.1523)^3 - 10 approx 9.9644 - 10 = -0.0356
Calculamos :
Como é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 12

Com o intervalo c = 2.1523 + 2.156252 = 2.1543 :
f(2.1543) = (2.1543)^3 - 10 approx 10.0004 - 10 = 0.0004
Calculamos :
Agora, a diferença entre e é , então paramos aqui.

Resposta

A raiz real da equação calculada pelo Método da Bisseção é aproximadamente .

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