Dada a equação polinomial x^3+3 x^2-1=0 Determine intervalos onde a equação possui uma única raiz real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação polinomial . Nosso objetivo aqui é descobrir em quais intervalos essa equação tem apenas uma raiz real. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como a análise de funções e o Teorema do Valor Intermediário. Vamos precisar examinar o comportamento do gráfico dessa função para identificar onde ela cruza o eixo apenas uma vez.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função . Queremos encontrar os valores de para os quais .

Passo 3

Para entender o comportamento da função, vamos analisar seus limites quando tende a e :
  • Quando , domina e .
  • Quando , ainda domina, mas como é negativo, .
Isso indica que a função vai do negativo ao positivo, garantindo pelo Teorema do Valor Intermediário que existe pelo menos uma raiz real.

Passo 4

Vamos derivar a função para encontrar pontos críticos, o que nos ajudará a entender onde a função pode ter máximos ou mínimos locais:
f'(x) = 3x^2 + 6x

Passo 5

Agora, vamos encontrar os pontos onde a derivada é zero:
3x^2 + 6x = 0
3x(x + 2) = 0
x = 0 ou x = -2
Esses são os pontos críticos da função .

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
  1. Para f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 1 = -27 + 27 - 1 = -1 :
    • Escolha f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 1 = -1 + 3 - 1 = 1 : f(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 1 = 1 + 3 - 1 = 3
  2. Para :
    • Escolha :
  3. Para :
    • Escolha :

Passo 7

Observando os valores de nos diferentes intervalos:
  • De , é negativo.
  • Entre e , é positivo.
  • Para , continua positivo.
Isso sugere que a função cruza o eixo apenas uma vez, no intervalo .

Resposta

A equação possui uma única raiz real no intervalo .

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