Dada a equação polinomial
Determine intervalos onde a equação possui uma única raiz real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação polinomial
. Nosso objetivo aqui é descobrir em quais intervalos essa equação tem apenas uma raiz real. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como a análise de funções e o Teorema do Valor Intermediário. Vamos precisar examinar o comportamento do gráfico dessa função para identificar onde ela cruza o eixo
apenas uma vez.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função
. Queremos encontrar os valores de
para os quais
.
Passo 3
Para entender o comportamento da função, vamos analisar seus limites quando
tende a
e
:
- Quando
, domina e . - Quando
, ainda domina, mas como é negativo, .
Isso indica que a função vai do negativo ao positivo, garantindo pelo Teorema do Valor Intermediário que existe pelo menos uma raiz real.
Passo 4
Vamos derivar a função para encontrar pontos críticos, o que nos ajudará a entender onde a função pode ter máximos ou mínimos locais:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os pontos onde a derivada é zero:
Esses são os pontos críticos da função
.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
- Para
: - Escolha
:
- Escolha
- Para
: - Escolha
:
- Escolha
- Para
: - Escolha
:
- Escolha
Passo 7
Observando os valores de
nos diferentes intervalos:
- De
, é negativo. - Entre
e , é positivo. - Para
, continua positivo.
Isso sugere que a função cruza o eixo
apenas uma vez, no intervalo
.
Resposta
A equação
possui uma única raiz real no intervalo
.
Exercícios relacionados
Seja
com raiz no intervalo
. Utilizando o Método do Ponto Fixo, construa uma função de iteração
e calcule a raiz até a
iteração.
Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Use o Método da Posição Falsa para determinar o zero real das equações. Use como critério de parada
ou
Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.