Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa analisar a função definida por . O que a gente vai verificar é se essa função é injetora (ou seja, se ela nunca atribui o mesmo valor para dois pares diferentes de ) e se ela é sobrejetora (ou seja, se todo número real pode ser obtido como resultado dessa função). Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora ou sobrejetora e aplicar isso na função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Ser injetora significa que se , então necessariamente . Para provar que a função não é injetora, basta encontrar um exemplo onde dois pares diferentes dão o mesmo resultado.
Vamos tentar com e :
Ops, não deu o mesmo. Vamos tentar outro par.
Vamos tentar e :
Ainda não, mas podemos notar que para , a expressão fica . E para , fica . Então, se escolhermos e :
Viu? , mas . Então, a função não é injetora.

Passo 3

Agora, vamos ver se a função é sobrejetora. Ser sobrejetora significa que para todo número real , existe pelo menos um par tal que .
Vamos tentar resolver a equação para em termos de :
Desde que (ou seja, ), podemos sempre encontrar um para qualquer . Se , então a equação fica:
Mesmo nesse caso, quando , funciona. Portanto, para qualquer , existe pelo menos um par que satisfaz . Assim, a função é sobrejetora.

Resposta

A função não é injetora, mas é sobrejetora.

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