Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa analisar a função
definida por
. O que a gente vai verificar é se essa função é injetora (ou seja, se ela nunca atribui o mesmo valor para dois pares diferentes de
) e se ela é sobrejetora (ou seja, se todo número real pode ser obtido como resultado dessa função). Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora ou sobrejetora e aplicar isso na função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Ser injetora significa que se
, então necessariamente
. Para provar que a função não é injetora, basta encontrar um exemplo onde dois pares diferentes
dão o mesmo resultado.
Vamos tentar com
e
:
Ops, não deu o mesmo. Vamos tentar outro par.
Vamos tentar
e
:
Ainda não, mas podemos notar que para
, a expressão fica
. E para
, fica
. Então, se escolhermos
e
:
Viu?
, mas
. Então, a função não é injetora.
Passo 3
Agora, vamos ver se a função é sobrejetora. Ser sobrejetora significa que para todo número real
, existe pelo menos um par
tal que
.
Vamos tentar resolver a equação
para
em termos de
:
Desde que
(ou seja,
), podemos sempre encontrar um
para qualquer
. Se
, então a equação fica:
Mesmo nesse caso, quando
, funciona. Portanto, para qualquer
, existe pelo menos um par
que satisfaz
. Assim, a função é sobrejetora.
Resposta
A função
não é injetora, mas é sobrejetora.
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. Use arredondamento com 4 casas decimais.
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ou
Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
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