Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) f é injetora e (ii) f é sobrejetora. f: R times R R, f(x, y)=x y+x+y.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa analisar a função definida por . O que a gente vai verificar é se essa função é injetora (ou seja, se ela nunca atribui o mesmo valor para dois pares diferentes de ) e se ela é sobrejetora (ou seja, se todo número real pode ser obtido como resultado dessa função). Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora ou sobrejetora e aplicar isso na função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Ser injetora significa que se f(0, 0) = 0 cdot 0 + 0 + 0 = 0 , então necessariamente f(1, -1) = 1 cdot (-1) + 1 + (-1) = -1 + 1 -1 = -1 . Para provar que a função não é injetora, basta encontrar um exemplo onde dois pares diferentes f(1, 1) = 1 cdot 1 + 1 + 1 = 3 dão o mesmo resultado.
Vamos tentar com f(-2, -2) = (-2) cdot (-2) + (-2) + (-2) = 4 -2 -2 = 0 e f(1, -1) = 1 cdot (-1) + 1 + (-1) = -1 +1 -1 = -1 :
f(-1, 1) = (-1) cdot 1 + (-1) + 1 = -1 -1 +1 = -1
Ops, não deu o mesmo. Vamos tentar outro par.
Vamos tentar e :
Ainda não, mas podemos notar que para , a expressão fica . E para , fica . Então, se escolhermos e :
Viu? , mas . Então, a função não é injetora.

Passo 3

Agora, vamos ver se a função é sobrejetora. Ser sobrejetora significa que para todo número real xy + x + y = z y(x + 1) + x = z y(x + 1) = z - x y = z - xx + 1 , existe pelo menos um par (-1)y + (-1) + y = z - y -1 + y = z -1 = z tal que .
Vamos tentar resolver a equação para em termos de :
Desde que (ou seja, ), podemos sempre encontrar um para qualquer . Se , então a equação fica:
Mesmo nesse caso, quando , funciona. Portanto, para qualquer , existe pelo menos um par que satisfaz . Assim, a função é sobrejetora.

Resposta

A função não é injetora, mas é sobrejetora.

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