Dada a equação polinomial x^3+3 x^2-1=0 Usando o Método da Secante, calcule uma aproximação para a menor raiz positiva da equação com precisão |f(xk)|<10^-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação polinomial usando o Método da Secante. Esse método ajuda a encontrar raízes de equações de maneira iterativa. Para isso, precisamos entender como aplicar a secante para aproximar a menor raiz positiva com uma precisão de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Método da Secante. Basicamente, ele usa duas aproximações iniciais próximas da raiz e, por meio de uma fórmula, gera novas aproximações que se aproximam cada vez mais da raiz verdadeira.
A fórmula da secante é:
xk+1 = xk - f(xk) cdot xk - xk-1f(xk) - f(xk-1)
Aqui, .

Passo 3

Vamos escolher dois valores iniciais, f(0) = 0 + 0 - 1 = -1 e f(0.5) = (0.5)^3 + 3(0.5)^2 - 1 = 0.125 + 0.75 - 1 = -0.125 , que estejam próximos da menor raiz positiva. Testando alguns valores:
  • Para f(1) = 1 + 3 - 1 = 3 :
  • Para :
  • Para :
Então, vamos usar e como nossos pontos iniciais.

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da secante para encontrar x2 = x1 - f(x1) cdot x1 - x0f(x1) - f(x0) :
x2 = 1 - 3 cdot 1 - 0.53 - (-0.125) = 1 - 3 cdot 0.53.125 = 1 - 3 cdot 0.16 = 1 - 0.48 = 0.52
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos verificar f(0.52) = (0.52)^3 + 3(0.52)^2 - 1 approx 0.1406 + 0.8112 - 1 = -0.0482 :
Como é maior que , precisamos continuar o processo.

Passo 6

Aplicamos a fórmula da secante novamente usando x3 = 0.52 - (-0.0482) cdot 0.52 - 1-0.0482 - 3 = 0.52 + 0.0482 cdot -0.48-3.0482 approx 0.52 + 0.0076 = 0.5276 e :

Passo 7

Verificamos f(0.5276) approx (0.5276)^3 + 3(0.5276)^2 - 1 approx 0.1467 + 0.8344 - 1 = -0.019 :
Ainda não atingimos a precisão desejada, então seguimos.

Passo 8

Aplicamos novamente a fórmula com x4 = 0.5276 - (-0.019) cdot 0.5276 - 0.52-0.019 - (-0.0482) approx 0.5276 + 0.019 cdot 0.00760.0292 approx 0.5276 + 0.0049 = 0.5325 e :

Passo 9

Verificamos f(0.5325) approx (0.5325)^3 + 3(0.5325)^2 - 1 approx 0.1508 + 0.8524 - 1 = 0.0032 :
Agora, ainda é maior que , então continuamos.

Passo 10

Mais uma iteração com x5 = 0.5325 - 0.0032 cdot 0.5325 - 0.52760.0032 - (-0.019) approx 0.5325 - 0.0032 cdot 0.00490.0222 approx 0.5325 - 0.0007 = 0.5318 e :

Passo 11

Checamos f(0.5318) approx (0.5318)^3 + 3(0.5318)^2 - 1 approx 0.1503 + 0.8494 - 1 = -0.0003 :
Agora, que é menor que . Parabéns, chegamos à precisão desejada!

Resposta

A aproximação para a menor raiz positiva da equação usando o Método da Secante é com .

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