Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) f é injetora e (ii) f é sobrejetora. f: R R^2, f(x)=(x, 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por . O exercício pede pra gente verificar duas coisas: (i) se essa função é injetora e (ii) se ela é sobrejetora. Isso tá ligado aos conceitos de injeção e sobrejeção na Matemática, que basicamente dizem se a função mapeia elementos de forma única e se cobre todo o espaço de chegada.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre injetividade. Uma função é injetora se cada elemento do domínio mapeia pra um elemento único no contradomínio. Ou seja, se (a, 0) = (b, 0) implica que . Vamos ver isso aqui:
Se , então:
O que significa que . Então, sim, a função é injetora porque não tem dois valores de que apontem pro mesmo par ordenado.

Passo 3

Agora, vamos para a sobrejetividade. Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio tem pelo menos um elemento do domínio que mapeia pra ele. No nosso caso, queremos ver se para todo , existe um tal que .
Olha só, , então o segundo componente do par sempre é 0. Mas no , podemos ter qualquer valor para . Se não for 0, não tem nenhum que faça . Portanto, a função não é sobrejetora porque não cobre todo o , apenas a linha onde .

Resposta

(i) A função é injetora.
(ii) A função não é sobrejetora.

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