Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida por
. O exercício pede pra gente verificar duas coisas: (i) se essa função é injetora e (ii) se ela é sobrejetora. Isso tá ligado aos conceitos de injeção e sobrejeção na Matemática, que basicamente dizem se a função mapeia elementos de forma única e se cobre todo o espaço de chegada.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre injetividade. Uma função é injetora se cada elemento do domínio mapeia pra um elemento único no contradomínio. Ou seja, se
implica que
. Vamos ver isso aqui:
Se
, então:
O que significa que
. Então, sim, a função
é injetora porque não tem dois valores de
que apontem pro mesmo par ordenado.
Passo 3
Agora, vamos para a sobrejetividade. Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio tem pelo menos um elemento do domínio que mapeia pra ele. No nosso caso, queremos ver se para todo
, existe um
tal que
.
Olha só,
, então o segundo componente do par sempre é 0. Mas no
, podemos ter qualquer valor para
. Se
não for 0, não tem nenhum
que faça
. Portanto, a função
não é sobrejetora porque não cobre todo o
, apenas a linha onde
.
Resposta
(i) A função
é injetora.
(ii) A função
não é sobrejetora.
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ou
Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
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