Use o Método da Posição Falsa para determinar o zero real das equações. Use como critério de parada |f(xk)| <= 0.001 ou |xk-xk-1| mid <= 0.001 x ln x-0,8=0

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para usar o Método da Posição Falsa para encontrar o zero real da equação . Esse método faz parte da matéria de Métodos Numéricos e nos ajuda a encontrar raízes de funções de forma iterativa. Para isso, vamos precisar identificar dois pontos iniciais onde a função muda de sinal, aplicar a fórmula do Método da Posição Falsa e repetir o processo até que a precisão desejada seja alcançada.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher dois valores iniciais, chamados de f(1) = 1 cdot ln 1 - 0,8 = 0 - 0,8 = -0,8 e f(3) = 3 cdot ln 3 - 0,8 approx 3 cdot 1,0986 - 0,8 approx 3,2958 - 0,8 = 2,4958 , onde a função muda de sinal. Isso significa que e devem ter sinais opostos, garantindo que existe pelo menos uma raiz entre e .
Vamos testar alguns valores:
  • Para :
  • Para :
Como e têm sinais opostos, podemos escolher e .

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula do Método da Posição Falsa para encontrar o pr��ximo valor c = b - f(b) cdot b - af(b) - f(a) :
c = 3 - 2,4958 cdot 3 - 12,4958 - (-0,8) = 3 - 2,4958 cdot 23,2958 approx 3 - 2,4958 cdot 0,6064 approx 3 - 1,513 approx 1,487
Substituindo os valores:

Passo 4

Calculamos f(1,487) approx 1,487 cdot ln(1,487) - 0,8 approx 1,487 cdot 0,397 - 0,8 approx 0,590 - 0,8 = -0,21 para verificar se já atendemos ao critério de parada:
Como e , precisamos continuar o processo.

Passo 5

Agora, escolhemos os novos intervalos. Como c = 3 - 2,4958 cdot 3 - 1,4872,4958 - (-0,21) approx 3 - 2,4958 cdot 1,5132,7058 approx 3 - 2,4958 cdot 0,559 approx 3 - 1,395 approx 1,605 e têm sinais opostos, substituímos e .
Aplicamos novamente a fórmula:

Passo 6

Calculamos f(1,605) approx 1,605 cdot ln(1,605) - 0,8 approx 1,605 cdot 0,474 - 0,8 approx 0,760 - 0,8 = -0,04 :
Como , continuamos.

Passo 7

Atualizamos os intervalos. Como c = 3 - 2,4958 cdot 3 - 1,6052,4958 - (-0,04) approx 3 - 2,4958 cdot 1,3952,5358 approx 3 - 2,4958 cdot 0,55 approx 3 - 1,3727 approx 1,627 e têm sinais opostos, usamos e .
Aplicamos a fórmula:

Passo 8

Calculamos f(1,627) approx 1,627 cdot ln(1,627) - 0,8 approx 1,627 cdot 0,486 - 0,8 approx 0,790 - 0,8 = -0,01 :
Como , continuamos.

Passo 9

Atualizamos novamente os intervalos com c = 3 - 2,4958 cdot 3 - 1,6272,4958 - (-0,01) approx 3 - 2,4958 cdot 1,3732,5058 approx 3 - 2,4958 cdot 0,547 approx 3 - 1,366 approx 1,634 e .
Aplicamos a fórmula:

Passo 10

Calculamos f(1,634) approx 1,634 cdot ln(1,634) - 0,8 approx 1,634 cdot 0,490 - 0,8 approx 0,800 - 0,8 = 0,000 :
Como , atingimos o critério de parada.

Resposta

O zero real da equação encontrado pelo Método da Posição Falsa é aproximadamente .

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