Calcule o valor máximo da função f(x)=-2 x^4+2 x^3+x^2+x+3 com o auxílio de qualquer método numérico, efetuando até a 4^circ iteração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo da função usando um método numérico, realizando até a quarta iteração. Para isso, vamos usar o método de Newton-Raphson, que ajuda a encontrar raízes de funções, ou seja, valores de onde a derivada da função é zero. Isso é útil porque os pontos onde a derivada é zero são candidatos a máximos ou mínimos da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f'(x) = ddx (-2x^4 + 2x^3 + x^2 + x + 3) = -8x^3 + 6x^2 + 2x + 1 , que nos ajuda a identificar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos. A derivada de é:

Passo 3

Em seguida, precisamos da segunda derivada, f''(x) = ddx (-8x^3 + 6x^2 + 2x + 1) = -24x^2 + 12x + 2 , que nos ajuda a determinar se os pontos encontrados são realmente máximos ou mínimos. Vamos calcular:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método de Newton-Raphson para encontrar a raiz de xn+1 = xn - f'(xn)f''(xn) . A fórmula do método é:
Precisamos escolher um valor inicial . Vamos tentar para começar.

Passo 5

Primeira iteração ( f'(x0) = f'(0) = -8(0)^3 + 6(0)^2 + 2(0) + 1 = 1 ):
f''(x0) = f''(0) = -24(0)^2 + 12(0) + 2 = 2
x1 = x0 - f'(x0)f''(x0) = 0 - 12 = -0.5

Passo 6

Segunda iteração ( f'(x1) = f'(-0.5) = -8(-0.5)^3 + 6(-0.5)^2 + 2(-0.5) + 1 = 1 ):
f''(x1) = f''(-0.5) = -24(-0.5)^2 + 12(-0.5) + 2 = -8 + (-6) + 2 = -12
x2 = x1 - f'(x1)f''(x1) = -0.5 - 1-12 = -0.5 + 0.0833 approx -0.4167

Passo 7

Terceira iteração ( f'(x2) = f'(-0.4167) approx -8(-0.4167)^3 + 6(-0.4167)^2 + 2(-0.4167) + 1 approx 0.048 ):
f''(x2) = f''(-0.4167) approx -24(-0.4167)^2 + 12(-0.4167) + 2 approx -9.1668
x3 = x2 - f'(x2)f''(x2) approx -0.4167 - 0.048-9.1668 approx -0.4167 + 0.0052 approx -0.4115

Passo 8

Quarta iteração ( f'(x3) = f'(-0.4115) approx -8(-0.4115)^3 + 6(-0.4115)^2 + 2(-0.4115) + 1 approx 0.0017 ):
f''(x3) = f''(-0.4115) approx -24(-0.4115)^2 + 12(-0.4115) + 2 approx -9.065
x4 = x3 - f'(x3)f''(x3) approx -0.4115 - 0.0017-9.065 approx -0.4115 + 0.00019 approx -0.4113

Resposta

Após quatro iterações usando o método de Newton-Raphson, o valor aproximado de f(-0.4113) approx -2(-0.4113)^4 + 2(-0.4113)^3 + (-0.4113)^2 + (-0.4113) + 3 approx 3.35 que maximiza a função é . Substituindo esse valor na função original:
Portanto, o valor máximo da função é aproximadamente 3.35.

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