Calcule o valor máximo da função
com o auxílio de qualquer método numérico, efetuando até a
iteração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo da função
usando um método numérico, realizando até a quarta iteração. Para isso, vamos usar o método de Newton-Raphson, que ajuda a encontrar raízes de funções, ou seja, valores de
onde a derivada da função é zero. Isso é útil porque os pontos onde a derivada é zero são candidatos a máximos ou mínimos da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
, que nos ajuda a identificar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos. A derivada de
é:
Passo 3
Em seguida, precisamos da segunda derivada,
, que nos ajuda a determinar se os pontos encontrados são realmente máximos ou mínimos. Vamos calcular:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método de Newton-Raphson para encontrar a raiz de
. A fórmula do método é:
Precisamos escolher um valor inicial
. Vamos tentar
para começar.
Passo 5
Primeira iteração (
):
Passo 6
Segunda iteração (
):
Passo 7
Terceira iteração (
):
Passo 8
Quarta iteração (
):
Resposta
Após quatro iterações usando o método de Newton-Raphson, o valor aproximado de
que maximiza a função
é
. Substituindo esse valor na função original:
Portanto, o valor máximo da função é aproximadamente 3.35.
Exercícios relacionados
Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Use o Método da Posição Falsa para determinar o zero real das equações. Use como critério de parada
ou
Mostre que a raiz quadrada de um número real positivo
pode ser calculada usando-se iterações do tipo
para
Use as iterações do item anterior para calcular
com precisão
e usando a aproximação inicial
.