Calcule o valor máximo da função com o auxílio de qualquer método numérico, efetuando até a iteração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo da função usando um método numérico, realizando até a quarta iteração. Para isso, vamos usar o método de Newton-Raphson, que ajuda a encontrar raízes de funções, ou seja, valores de onde a derivada da função é zero. Isso é útil porque os pontos onde a derivada é zero são candidatos a máximos ou mínimos da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função , que nos ajuda a identificar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos. A derivada de é:

Passo 3

Em seguida, precisamos da segunda derivada, , que nos ajuda a determinar se os pontos encontrados são realmente máximos ou mínimos. Vamos calcular:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método de Newton-Raphson para encontrar a raiz de . A fórmula do método é:
Precisamos escolher um valor inicial . Vamos tentar para começar.

Passo 5

Primeira iteração ( ):

Passo 6

Segunda iteração ( ):

Passo 7

Terceira iteração ( ):

Passo 8

Quarta iteração ( ):

Resposta

Após quatro iterações usando o método de Newton-Raphson, o valor aproximado de que maximiza a função é . Substituindo esse valor na função original:
Portanto, o valor máximo da função é aproximadamente 3.35.

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