Mostre que a raiz quadrada de um número real positivo A pode ser calculada usando-se iterações do tipo
xk+1=0,5 times(xk+Axk)
para k=0,1,2, ldots

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: queremos mostrar que a raiz quadrada de um número real positivo xk+1 = 0,5 times ( xk + Axk ) pode ser calculada usando uma sequência de iterações da forma
Para resolver isso, vamos utilizar o método de aproximação sucessiva, conhecido como Método de Newton, que ajuda a encontrar raízes de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a raiz quadrada de (raizA)^2 = A . Estamos procurando um número tal que
Então, nosso objetivo é encontrar um valor de que satisfaça essa igualdade.

Passo 3

Para usar o Método de Newton, precisamos definir uma função cuja raiz queremos encontrar. Vamos considerar a função
f(x) = x^2 - A
Queremos encontrar tal que , ou seja, , que é exatamente a definição de .

Passo 4

O Método de Newton nos dá uma fórmula para atualizar nossas estimativas de xk+1 = xk - f(xk)f'(xk) . A fórmula geral é
f'(x) = 2x
Primeiro, calculamos a derivada de :

Passo 5

Substituindo xk+1 = xk - xk^2 - A2xk = xk - xk2 + A2xk = 12 ( xk + Axk ) e xk+1 = 0,5 times ( xk + Axk ) na fórmula do Método de Newton, temos
Isso simplifica para
que é exatamente a fórmula dada na questão.

Passo 6

Com essa fórmula, cada nova iteração aproxima-se mais de . Começando com uma estimativa inicial positiva, repetimos a fórmula até que a diferença entre e seja menor que uma tolerância desejada.

Resposta

Assim, mostramos que a raiz quadrada de xk+1 = 0,5 times ( xk + Axk ) pode ser calculada usando as iterações

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