Mostre que a raiz quadrada de um número real positivo pode ser calculada usando-se iterações do tipo
para

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: queremos mostrar que a raiz quadrada de um número real positivo pode ser calculada usando uma sequência de iterações da forma
Para resolver isso, vamos utilizar o método de aproximação sucessiva, conhecido como Método de Newton, que ajuda a encontrar raízes de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a raiz quadrada de . Estamos procurando um número tal que
Então, nosso objetivo é encontrar um valor de que satisfaça essa igualdade.

Passo 3

Para usar o Método de Newton, precisamos definir uma função cuja raiz queremos encontrar. Vamos considerar a função
Queremos encontrar tal que , ou seja, , que é exatamente a definição de .

Passo 4

O Método de Newton nos dá uma fórmula para atualizar nossas estimativas de . A fórmula geral é
Primeiro, calculamos a derivada de :

Passo 5

Substituindo e na fórmula do Método de Newton, temos
Isso simplifica para
que é exatamente a fórmula dada na questão.

Passo 6

Com essa fórmula, cada nova iteração aproxima-se mais de . Começando com uma estimativa inicial positiva, repetimos a fórmula até que a diferença entre e seja menor que uma tolerância desejada.

Resposta

Assim, mostramos que a raiz quadrada de pode ser calculada usando as iterações

Exercícios relacionados

Calcule o valor máximo da função com o auxílio de qualquer método numérico, efetuando até a iteração.
Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i) é injetora e (ii) é sobrejetora. .
Use as iterações do item anterior para calcular com precisão e usando a aproximação inicial .

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