Mostre que a raiz quadrada de um número real positivo
pode ser calculada usando-se iterações do tipo
para
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: queremos mostrar que a raiz quadrada de um número real positivo
pode ser calculada usando uma sequência de iterações da forma
Para resolver isso, vamos utilizar o método de aproximação sucessiva, conhecido como Método de Newton, que ajuda a encontrar raízes de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a raiz quadrada de
. Estamos procurando um número
tal que
Então, nosso objetivo é encontrar um valor de
que satisfaça essa igualdade.
Passo 3
Para usar o Método de Newton, precisamos definir uma função cuja raiz queremos encontrar. Vamos considerar a função
Queremos encontrar
tal que
, ou seja,
, que é exatamente a definição de
.
Passo 4
O Método de Newton nos dá uma fórmula para atualizar nossas estimativas de
. A fórmula geral é
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula do Método de Newton, temos
Isso simplifica para
que é exatamente a fórmula dada na questão.
Passo 6
Com essa fórmula, cada nova iteração
aproxima-se mais de
. Começando com uma estimativa inicial
positiva, repetimos a fórmula até que a diferença entre
e
seja menor que uma tolerância desejada.
Resposta
Assim, mostramos que a raiz quadrada de
pode ser calculada usando as iterações
Exercícios relacionados
Calcule o valor máximo da função
com o auxílio de qualquer método numérico, efetuando até a
iteração.
Para cada uma funções abaixo, prove ou exiba um contra-exemplo das afirmações: (i)
é injetora e (ii)
é sobrejetora.
.
Use as iterações do item anterior para calcular
com precisão
e usando a aproximação inicial
.
com