Para cada integral a seguir, esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
11)
Calcule a integral trocando, antes, a ordem de integração:
a)
b)
11)
Calcule a integral trocando, antes, a ordem de integração:
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 11a juntos! A questão pede para calcular uma integral dupla trocando a ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender como mudar os limites de integração e aplicar a teoria de integração iterada. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral original:
Aqui, a variável
varia de 0 a 1, e para cada
,
varia de
a 3. Para trocar a ordem de integração, precisamos entender a região de integração no plano
.
Passo 3
Vamos desenhar a região de integração:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de a 3.
Isso significa que a linhavai de a , e é uma linha vertical. A região está entre essas duas linhas.
Passo 4
Agora, para trocar a ordem, vamos determinar como
varia primeiro:
-
varia de 0 a 3. - Para cada
, varia de 0 a (obtido de ).
Passo 5
Com os novos limites, a integral fica:
Perceba que agora integrando em relação a
primeiro, a função
é constante em relação a
, então a integral se simplifica.
Passo 6
Vamos integrar em relação a
:
Agora, a integral se torna:
Passo 7
Vamos simplificar a constante:
Para resolver essa integral, usamos a substituição
, então
, ou
.
Passo 8
Aplicando a substituição:
Passo 9
Agora, vamos resolver o exercício 11b! A tarefa é calcular uma integral dupla trocando a ordem de integração. Vamos precisar entender os limites de integração e aplicar a teoria da mudança de ordem. Vamos em frente!
Passo 10
A integral original é:
Aqui,
varia de 0 a 4, e para cada
,
varia de
a 2. Nosso objetivo é trocar a ordem de integração.
Passo 11
Vamos visualizar a região de integração:
-
varia de 0 a 4. - Para cada
, varia de a 2.
Isso significa que a curvavai de a , e é uma linha horizontal.
Passo 12
Para trocar a ordem, determinamos como
varia primeiro:
-
varia de 0 a 2. - Para cada
, varia de 0 a (obtido de ).
Passo 13
Com os novos limites, a integral fica:
Note que agora estamos integrando em relação a
primeiro, e a função dentro da integral depende apenas de
.
Passo 14
Vamos integrar em relação a
:
Agora, a integral se transforma em:
Passo 15
Observamos que o denominador
pode ser fatorado:
Mas para simplificar a integral, vamos fazer uma substituição:
Seja , então
, ou
.
Seja
Passo 16
Aplicando a substituição:
Agora, avaliamos de 0 a 2:
Como
e
, podemos simplificar:
Passo 17
Finalmente, vamos dar uma olhada no exercício c)! O objetivo é esboçar a região de integração e trocar a ordem de integração da seguinte integral:
Vamos precisar identificar os limites de integração e reorganizar a integral trocando a ordem das integrações.
Passo 18
Primeiro, entendendo a integral original:
-
varia de 1 a 2. - Para cada
, varia de 0 a .
Vamos visualizar essa região no plano.
Passo 19
Vamos desenhar a região:
- A curva superior é
, que para de 1 a 2, vai de a . - A linha inferior é
. -
varia de 1 a 2.
Passo 20
Agora, para trocar a ordem de integração, vamos determinar como
varia primeiro:
-
varia de 0 a . - Para cada
, varia de a 2 (obtido de ).
Passo 21
Com os novos limites, a integral fica:
Dessa forma, trocamos a ordem de integração, o que pode facilitar a resolução dependendo da função
.
Resposta
A integral com a ordem de integração trocada fica:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais iteradas, esboce e destaque as regiões planas de integração:
Calcule a integral iterada:
a)
b)
c)
: a) 0
b)
a)
b)
c)
b)
Calcule a integral dupla, esboce e destaque a região plana de integração:
é limitada pelas curvas
Usando o Método da Bisseção, encontre uma aproximação da solução única
de cada uma das seguintes equações, nos intervalos indicados:
, com erro absoluto menor que
;