Para cada integral a seguir, esboce a região de integração e mude a ordem de integração: c) integral1^2 integral0^ln (x) f(x, y) d y d x
11)
Calcule a integral trocando, antes, a ordem de integração:
a) integral0^1 integral3 y^3 e^x^2 d x d y
b) integral0^4 integralraizx^2 1y^3+1 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 11a juntos! A questão pede para calcular uma integral dupla trocando a ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender como mudar os limites de integração e aplicar a teoria de integração iterada. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral original:
integral0^1 integral3y^3 e^x^2 , dx , dy
Aqui, a variável varia de 0 a 1, e para cada , varia de a 3. Para trocar a ordem de integração, precisamos entender a região de integração no plano .

Passo 3

Vamos desenhar a região de integração:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de a 3.
    Isso significa que a linha vai de a , e é uma linha vertical. A região está entre essas duas linhas.

Passo 4

Agora, para trocar a ordem, vamos determinar como varia primeiro:
  • varia de 0 a 3.
  • Para cada , varia de 0 a (obtido de ).

Passo 5

Com os novos limites, a integral fica:
integral0^3 integral0^x3 e^x^2 , dy , dx
Perceba que agora integrando em relação a primeiro, a função é constante em relação a , então a integral se simplifica.

Passo 6

Vamos integrar em relação a integral0^x3 e^x^2 , dy = e^x^2 cdot ( x3 - 0 ) = x3 e^x^2 :
integral0^3 x3 e^x^2 , dx
Agora, a integral se torna:

Passo 7

Vamos simplificar a constante:
13 integral0^3 x e^x^2 , dx
Para resolver essa integral, usamos a substituição , então , ou .

Passo 8

Aplicando a substituição:
13 cdot 12 integral0^9 e^u , du = 16 [ e^u ]0^9 = 16 ( e^9 - e^0 ) = 16 (e^9 - 1)

Passo 9

Agora, vamos resolver o exercício 11b! A tarefa é calcular uma integral dupla trocando a ordem de integração. Vamos precisar entender os limites de integração e aplicar a teoria da mudança de ordem. Vamos em frente!

Passo 10

A integral original é:
integral0^4 integralraizx^2 1y^3 + 1 , dy , dx
Aqui, varia de 0 a 4, e para cada , varia de a 2. Nosso objetivo é trocar a ordem de integração.

Passo 11

Vamos visualizar a região de integração:
  • varia de 0 a 4.
  • Para cada , varia de a 2.
    Isso significa que a curva vai de a , e é uma linha horizontal.

Passo 12

Para trocar a ordem, determinamos como varia primeiro:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 a (obtido de ).

Passo 13

Com os novos limites, a integral fica:
integral0^2 integral0^y^2 1y^3 + 1 , dx , dy
Note que agora estamos integrando em relação a primeiro, e a função dentro da integral depende apenas de .

Passo 14

Vamos integrar em relação a integral0^y^2 1y^3 + 1 , dx = 1y^3 + 1 cdot (y^2 - 0) = y^2y^3 + 1 :
integral0^2 y^2y^3 + 1 , dy
Agora, a integral se transforma em:

Passo 15

Observamos que o denominador y^3 + 1 = (y + 1)(y^2 - y + 1) pode ser fatorado:
Mas para simplificar a integral, vamos fazer uma substituição:
Seja , então , ou .

Passo 16

Aplicando a substituição:
integral y^2y^3 + 1 , dy = 13 integral 1u , du = 13 ln |u| + C = 13 ln(y^3 + 1) + C
Agora, avaliamos de 0 a 2:
13 [ ln(2^3 + 1) - ln(0^3 + 1) ] = 13 ( ln(9) - ln(1) ) = 13 ln(9)
Como 23 ln(3) e , podemos simplificar:

Passo 17

Finalmente, vamos dar uma olhada no exercício c)! O objetivo é esboçar a região de integração e trocar a ordem de integração da seguinte integral:
integral1^2 integral0^ln(x) f(x, y) , dy , dx
Vamos precisar identificar os limites de integração e reorganizar a integral trocando a ordem das integrações.

Passo 18

Primeiro, entendendo a integral original:
  • varia de 1 a 2.
  • Para cada , varia de 0 a .
    Vamos visualizar essa região no plano .

Passo 19

Vamos desenhar a região:
  • A curva superior é , que para de 1 a 2, vai de a .
  • A linha inferior é .
  • varia de 1 a 2.

Passo 20

Agora, para trocar a ordem de integração, vamos determinar como varia primeiro:
  • varia de 0 a .
  • Para cada , varia de a 2 (obtido de ).

Passo 21

Com os novos limites, a integral fica:
integral0^ln(2) integrale^y^2 f(x, y) , dx , dy
Dessa forma, trocamos a ordem de integração, o que pode facilitar a resolução dependendo da função .

Resposta

A integral com a ordem de integração trocada fica:
integral0^ln(2) integrale^y^2 f(x, y) , dx , dy

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