Para cada integral a seguir, esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
11)
Calcule a integral trocando, antes, a ordem de integração:
a)
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 11a juntos! A questão pede para calcular uma integral dupla trocando a ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender como mudar os limites de integração e aplicar a teoria de integração iterada. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral original:
Aqui, a variável varia de 0 a 1, e para cada , varia de a 3. Para trocar a ordem de integração, precisamos entender a região de integração no plano .

Passo 3

Vamos desenhar a região de integração:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de a 3.
    Isso significa que a linha vai de a , e é uma linha vertical. A região está entre essas duas linhas.

Passo 4

Agora, para trocar a ordem, vamos determinar como varia primeiro:
  • varia de 0 a 3.
  • Para cada , varia de 0 a (obtido de ).

Passo 5

Com os novos limites, a integral fica:
Perceba que agora integrando em relação a primeiro, a função é constante em relação a , então a integral se simplifica.

Passo 6

Vamos integrar em relação a :
Agora, a integral se torna:

Passo 7

Vamos simplificar a constante:
Para resolver essa integral, usamos a substituição , então , ou .

Passo 8

Aplicando a substituição:

Passo 9

Agora, vamos resolver o exercício 11b! A tarefa é calcular uma integral dupla trocando a ordem de integração. Vamos precisar entender os limites de integração e aplicar a teoria da mudança de ordem. Vamos em frente!

Passo 10

A integral original é:
Aqui, varia de 0 a 4, e para cada , varia de a 2. Nosso objetivo é trocar a ordem de integração.

Passo 11

Vamos visualizar a região de integração:
  • varia de 0 a 4.
  • Para cada , varia de a 2.
    Isso significa que a curva vai de a , e é uma linha horizontal.

Passo 12

Para trocar a ordem, determinamos como varia primeiro:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 a (obtido de ).

Passo 13

Com os novos limites, a integral fica:
Note que agora estamos integrando em relação a primeiro, e a função dentro da integral depende apenas de .

Passo 14

Vamos integrar em relação a :
Agora, a integral se transforma em:

Passo 15

Observamos que o denominador pode ser fatorado:
Mas para simplificar a integral, vamos fazer uma substituição:
Seja , então , ou .

Passo 16

Aplicando a substituição:
Agora, avaliamos de 0 a 2:
Como e , podemos simplificar:

Passo 17

Finalmente, vamos dar uma olhada no exercício c)! O objetivo é esboçar a região de integração e trocar a ordem de integração da seguinte integral:
Vamos precisar identificar os limites de integração e reorganizar a integral trocando a ordem das integrações.

Passo 18

Primeiro, entendendo a integral original:
  • varia de 1 a 2.
  • Para cada , varia de 0 a .
    Vamos visualizar essa região no plano .

Passo 19

Vamos desenhar a região:
  • A curva superior é , que para de 1 a 2, vai de a .
  • A linha inferior é .
  • varia de 1 a 2.

Passo 20

Agora, para trocar a ordem de integração, vamos determinar como varia primeiro:
  • varia de 0 a .
  • Para cada , varia de a 2 (obtido de ).

Passo 21

Com os novos limites, a integral fica:
Dessa forma, trocamos a ordem de integração, o que pode facilitar a resolução dependendo da função .

Resposta

A integral com a ordem de integração trocada fica:

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a)
b)
c)
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, com erro absoluto menor que ;