Calcule a integral iterada:
a)
b)
c)
: a) 0
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver os integrais iterados que você enviou! A gente vai trabalhar com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas, volumes e outras coisas quando a gente tem duas variáveis envolvidas. Para isso, vamos precisar saber como trocar a ordem de integração e usar substituições quando necessário.

Passo 2

Vamos começar com a parte a) que é:
Aqui, temos uma integral dupla sobre o quadrado [0,1]×[0,1] da função . Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 3

Primeiro, vamos integrar em relação a , mantendo como constante. A integral fica:
Para integrar em , fazemos uma substituição simples onde . A integral de em é .

Passo 4

Após a substituição, os limites de vão de 0 a 1, então vai de a . Portanto:
Como , simplificamos para:

Passo 5

Agora, precisamos integrar isso em relação a de 0 a 1:
As integrais de e são simétricas e ambas valem .

Passo 6

Então, substituindo:

Passo 7

Agora vamos para a parte b):
Aqui, temos uma função mais complexa envolvendo , que sugere o uso de coordenadas polares para simplificar a integração.

Passo 8

Apesar de normalmente coordenadas polares serem usadas para integrais que envolvem círculos, neste caso, como estamos integrando sobre o quadrado [0,1]×[0,1], vamos manter em coordenadas cartesianas, mas usar substituição para simplificar.

Passo 9

Observamos que a função pode ser integrada separadamente. Primeiro, fixamos e integramos em :
Fazemos a substituição , então , ou seja, .

Passo 10

Os limites de integração para vão de a . Assim, a integral fica:

Passo 11

Agora, voltamos à integral original substituindo:
A segunda integral é fácil de calcular:

Passo 12

Para a primeira integral, fazemos a substituição , então , ou seja, . Os limites para vão de 1 a 2.
Então:

Passo 13

Agora, juntando tudo:
Mas simplificando:

Resposta

a) 0
b)

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Para cada integral a seguir, esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
11)
Calcule a integral trocando, antes, a ordem de integração:
a)
b)