Beleza, vamos resolver os integrais iterados que você enviou! A gente vai trabalhar com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas, volumes e outras coisas quando a gente tem duas variáveis envolvidas. Para isso, vamos precisar saber como trocar a ordem de integração e usar substituições quando necessário.
Passo 2
Vamos começar com a parte a) que é:
Aqui, temos uma integral dupla sobre o quadrado [0,1]×[0,1] da função . Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 3
Primeiro, vamos integrar em relação a , mantendo como constante. A integral fica:
Para integrar em , fazemos uma substituição simples onde . A integral de em é .
Passo 4
Após a substituição, os limites de vão de 0 a 1, então vai de a . Portanto:
Como , simplificamos para:
Passo 5
Agora, precisamos integrar isso em relação a de 0 a 1:
As integrais de e são simétricas e ambas valem .
Passo 6
Então, substituindo:
Passo 7
Agora vamos para a parte b):
Aqui, temos uma função mais complexa envolvendo , que sugere o uso de coordenadas polares para simplificar a integração.
Passo 8
Apesar de normalmente coordenadas polares serem usadas para integrais que envolvem círculos, neste caso, como estamos integrando sobre o quadrado [0,1]×[0,1], vamos manter em coordenadas cartesianas, mas usar substituição para simplificar.
Passo 9
Observamos que a função pode ser integrada separadamente. Primeiro, fixamos e integramos em :
Fazemos a substituição , então , ou seja, .
Passo 10
Os limites de integração para vão de a . Assim, a integral fica:
Passo 11
Agora, voltamos à integral original substituindo:
A segunda integral é fácil de calcular:
Passo 12
Para a primeira integral, fazemos a substituição , então , ou seja, . Os limites para vão de 1 a 2.