Beleza, vamos resolver os integrais iterados que você enviou! A gente vai trabalhar com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas, volumes e outras coisas quando a gente tem duas variáveis envolvidas. Para isso, vamos precisar saber como trocar a ordem de integração e usar substituições quando necessário.
Passo 2
Vamos começar com a parte a) que é:
Aqui, temos uma integral dupla sobre o quadrado [0,1]×[0,1] da função . Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 3
Primeiro, vamos integrar em relação a , mantendo como constante. A integral fica:
Para integrar em , fazemos uma substituição simples onde . A integral de em é .
Passo 4
Após a substituição, os limites de vão de 0 a 1, então vai de a . Portanto:
Como , simplificamos para:
Passo 5
Agora, precisamos integrar isso em relação a integral0^1 (1 - v)^6 - v^66 , dv = 16 ( integral0^1 (1 - v)^6 , dv - integral0^1 v^6 , dv ) de 0 a 1:
As integrais de e são simétricas e ambas valem .
Passo 6
Então, substituindo:
16 ( 17 - 17 ) = 16 (0) = 0
Passo 7
Agora vamos para a parte b):
integral0^1 integral0^1 x y raizx^2 + y^2 , dy , dx
Aqui, temos uma função mais complexa envolvendo , que sugere o uso de coordenadas polares para simplificar a integração.
Passo 8
Apesar de normalmente coordenadas polares serem usadas para integrais que envolvem círculos, neste caso, como estamos integrando sobre o quadrado [0,1]×[0,1], vamos manter em coordenadas cartesianas, mas usar substituição para simplificar.
Passo 9
Observamos que a função integral0^1 y raizx^2 + y^2 , dy pode ser integrada separadamente. Primeiro, fixamos e integramos em :
Fazemos a substituição , então , ou seja, .
Passo 10
Os limites de integração para 12 integralx^2^x^2 + 1 raizw , dw = 12 23 w^3/2 |x^2^x^2 + 1 = 13 ( (x^2 + 1)^3/2 - (x^2)^3/2 ) vão de a . Assim, a integral fica:
Para a primeira integral, fazemos a substituição 13 cdot 12 integral1^2 u^3/2 , du = 16 cdot 25 ( u^5/2 |1^2 = 115 ( 2^5/2 - 1 ) = 115 (4raiz2 - 1) , então , ou seja, . Os limites para vão de 1 a 2.