Calcule a integral iterada:
a) integral0^1 integral0^1(u-v)^5 d u d v
b) integral0^1 integral0^1 x y raizx^2+y^2 d y d x
c) integral0^2 integral0^pi r sen^2(theta) d theta d r
R : a) 0
b) (8 raiz2-3) / 15

Passo 1

Beleza, vamos resolver os integrais iterados que você enviou! A gente vai trabalhar com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas, volumes e outras coisas quando a gente tem duas variáveis envolvidas. Para isso, vamos precisar saber como trocar a ordem de integração e usar substituições quando necessário.

Passo 2

Vamos começar com a parte a) que é:
integral0^1 integral0^1(u - v)^5 , du , dv
Aqui, temos uma integral dupla sobre o quadrado [0,1]×[0,1] da função (u - v)^5. Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 3

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^1 (u - v)^5 , du , mantendo como constante. A integral fica:
Para integrar em , fazemos uma substituição simples onde . A integral de em é .

Passo 4

Após a substituição, os limites de integral-v^1 - v w^5 , dw = w^66 |-v^1 - v = (1 - v)^66 - (-v)^66 vão de 0 a 1, então (1 - v)^6 - v^66 vai de a . Portanto:
Como , simplificamos para:

Passo 5

Agora, precisamos integrar isso em relação a integral0^1 (1 - v)^6 - v^66 , dv = 16 ( integral0^1 (1 - v)^6 , dv - integral0^1 v^6 , dv ) de 0 a 1:
As integrais de e são simétricas e ambas valem .

Passo 6

Então, substituindo:
16 ( 17 - 17 ) = 16 (0) = 0

Passo 7

Agora vamos para a parte b):
integral0^1 integral0^1 x y raizx^2 + y^2 , dy , dx
Aqui, temos uma função mais complexa envolvendo , que sugere o uso de coordenadas polares para simplificar a integração.

Passo 8

Apesar de normalmente coordenadas polares serem usadas para integrais que envolvem círculos, neste caso, como estamos integrando sobre o quadrado [0,1]×[0,1], vamos manter em coordenadas cartesianas, mas usar substituição para simplificar.

Passo 9

Observamos que a função integral0^1 y raizx^2 + y^2 , dy pode ser integrada separadamente. Primeiro, fixamos e integramos em :
Fazemos a substituição , então , ou seja, .

Passo 10

Os limites de integração para 12 integralx^2^x^2 + 1 raizw , dw = 12 23 w^3/2 |x^2^x^2 + 1 = 13 ( (x^2 + 1)^3/2 - (x^2)^3/2 ) vão de a . Assim, a integral fica:

Passo 11

Agora, voltamos à integral original substituindo:
integral0^1 x ( (x^2 + 1)^3/2 - x^33 ) , dx = 13 integral0^1 x (x^2 + 1)^3/2 , dx - 13 integral0^1 x^4 , dx
A segunda integral é fácil de calcular:
integral0^1 x^4 , dx = 15

Passo 12

Para a primeira integral, fazemos a substituição 13 cdot 12 integral1^2 u^3/2 , du = 16 cdot 25 ( u^5/2 |1^2 = 115 ( 2^5/2 - 1 ) = 115 (4raiz2 - 1) , então , ou seja, . Os limites para vão de 1 a 2.
Então:

Passo 13

Agora, juntando tudo:
115 (4raiz2 - 1) - 13 cdot 15 = 4raiz2 - 115 - 115 = 4raiz2 - 215 = 2(2raiz2 - 1)15
Mas simplificando:
8raiz2 - 315

Resposta

a) 0
b) dfrac8 raiz2 - 315

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