Calcule as integrais iteradas, esboce e destaque as regiões planas de integração: b) integral0^1 integralx^2^x(1+2 y) d y d x

Passo 1

Vamos calcular a integral iterada . Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente de integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como avaliar integrais iteradas e também interpretar a região de integração no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a integralx^2^x (1 + 2y) , dy . A função a ser integrada é , e os limites de vão de a . Então, integramos em relação a :

Passo 3

Vamos calcular essa integral passo a passo. A antiderivada de integral (1 + 2y) , dy = y + y^2 + C em relação a [ y + y^2 ]x^2^x = (x + x^2) - (x^2 + (x^2)^2) = x + x^2 - x^2 - x^4 = x - x^4 é , e a antiderivada de é . Assim:
Agora, avaliamos de até :

Passo 4

Agora que resolvemos a integral interna, substituímos o resultado na integral externa, que é em relação a integral0^1 (x - x^4) , dx , de a :
Vamos calcular essa integral.

Passo 5

Integrando integral (x - x^4) , dx = x^22 - x^55 + C em relação a [ x^22 - x^55 ]0^1 = ( 12 - 15 ) - ( 0 - 0 ) = 12 - 15 = 510 - 210 = 310 , a antiderivada é , e para é . Portanto:
Agora, avaliamos de até :

Resposta

O valor da integral iterada é .

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