Calcule a integral dupla, esboce e destaque a região plana de integração: é limitada pelas curvas

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla . O problema envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, e requer a identificação da região de integração . Precisamos entender os limites de e definidos pelas curvas e para calcular a integral corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região onde vamos integrar. As curvas que delimitam são e . A curva pode ser reescrita como , que é a equação de um círculo de raio 1 centrado na origem. Portanto, a região está entre (o eixo ) e o semicírculo direito do círculo unitário.

Passo 3

Para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração para e . Observando a região , para cada valor de entre e , varia de até . Portanto, os limites são:

Passo 4

Agora, vamos escrever a integral dupla com os limites identificados:
Essa estrutura nos permite integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Como é uma constante em relação a , podemos fatorá-lo:
A integral de em relação a é , então:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Calculamos a integral de e :
A integral de de a é para par.

Passo 8

Aplicando a fórmula:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Para cada integral a seguir, esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
11)
Calcule a integral trocando, antes, a ordem de integração:
a)
b)
Calcule as integrais iteradas, esboce e destaque as regiões planas de integração:
Usando o Método da Bisseção, encontre uma aproximação da solução única de cada uma das seguintes equações, nos intervalos indicados:
, com erro absoluto menor que ;
Usando o Método da Bisseção, encontre uma aproximação da solução única de cada uma das seguintes equações, nos intervalos indicados:
, com erro absoluto menor que ;