Calcule a integral dupla, esboce e destaque a região plana de integração: integral duplaD(x cdot y^2) dA, D é limitada pelas curvas x=0 e x=raiz1-y^2

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla . O problema envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, e requer a identificação da região de integração . Precisamos entender os limites de e definidos pelas curvas e para calcular a integral corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região onde vamos integrar. As curvas que delimitam são e . A curva pode ser reescrita como , que é a equação de um círculo de raio 1 centrado na origem. Portanto, a região está entre (o eixo ) e o semicírculo direito do círculo unitário.

Passo 3

Para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração para -1 <= y <= 1 0 <= x <= raiz1 - y^2 e . Observando a região , para cada valor de entre e , varia de até . Portanto, os limites são:

Passo 4

Agora, vamos escrever a integral dupla com os limites identificados:
integraly=-1^1 integralx=0^raiz1 - y^2 x cdot y^2 ,dx,dy
Essa estrutura nos permite integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^raiz1 - y^2 x cdot y^2 ,dx :
y^2 integral0^raiz1 - y^2 x ,dx
Como y^2 [ x^22 ]0^raiz1 - y^2 = y^2 ( 1 - y^22 - 0 ) = y^2(1 - y^2)2 é uma constante em relação a , podemos fatorá-lo:
A integral de em relação a é , então:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral-1^1 y^2(1 - y^2)2 ,dy = 12 integral-1^1 (y^2 - y^4) ,dy
Vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Calculamos a integral de 12 [ integral-1^1 y^2 ,dy - integral-1^1 y^4 ,dy ] e :
A integral de de a é para par.

Passo 8

Aplicando a fórmula:
12 ( 2 cdot 1^33 - 2 cdot 1^55 ) = 12 ( 23 - 25 ) = 12 ( 10 - 615 ) = 12 cdot 415 = 215

Resposta

O valor da integral dupla é .

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