Calcule a integral dupla, esboce e destaque a região plana de integração:
é limitada pelas curvas
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla
. O problema envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, e requer a identificação da região de integração
. Precisamos entender os limites de
e
definidos pelas curvas
e
para calcular a integral corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região
onde vamos integrar. As curvas que delimitam
são
e
. A curva
pode ser reescrita como
, que é a equação de um círculo de raio 1 centrado na origem. Portanto, a região
está entre
(o eixo
) e o semicírculo direito do círculo unitário.
Passo 3
Para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração para
e
. Observando a região
, para cada valor de
entre
e
,
varia de
até
. Portanto, os limites são:
Passo 4
Agora, vamos escrever a integral dupla com os limites identificados:
Essa estrutura nos permite integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Como
é uma constante em relação a
, podemos fatorá-lo:
A integral de
em relação a
é
, então:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 7
Calculamos a integral de
e
:
A integral de
de
a
é
para
par.
Passo 8
Aplicando a fórmula:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Para cada integral a seguir, esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
11)
Calcule a integral trocando, antes, a ordem de integração:
a)
b)
11)
Calcule a integral trocando, antes, a ordem de integração:
a)
b)
Calcule as integrais iteradas, esboce e destaque as regiões planas de integração:
Usando o Método da Bisseção, encontre uma aproximação da solução única
de cada uma das seguintes equações, nos intervalos indicados:
, com erro absoluto menor que
;
Usando o Método da Bisseção, encontre uma aproximação da solução única
de cada uma das seguintes equações, nos intervalos indicados:
, com erro absoluto menor que
;