Em cada item do Exercício 4, determine A^-1. Em seguida, encontre o produto A^-1 cdot B para determinar a solução do sistema A cdot X=B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a matriz inversa A^-1 de cada item do Exercício 4. Depois disso, precisamos multiplicar essa inversa por uma matriz B para resolver o sistema A cdot X = B. Basicamente, vamos usar conceitos de álgebra linear, como inversão de matrizes e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a matriz inversa A^-1. Para uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas), a inversa existe se e somente se o determinante da matriz for diferente de zero. A fórmula geral para a inversa de uma matriz 2x2 é:
A = a & b c & d Rightarrow A^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a
Então, calculamos o determinante ad - bc e, se for diferente de zero, aplicamos a fórmula acima.

Passo 3

Depois de encontrar A^-1, vamos multiplicá-la pela matriz B para encontrar X. A multiplicação de matrizes funciona assim: cada elemento da linha da primeira matriz é multiplicado pelos elementos correspondentes da coluna da segunda matriz e, depois, somados. Se A^-1 é uma matriz 2x2 e B é uma matriz 2x1 (por exemplo), a multiplicação vai resultar em uma matriz 2x1 que é a solução X.
X = A^-1 cdot B

Passo 4

Vamos lá com um exemplo prático! Suponha que temos:
A = 2 & 3 1 & 4 , B = 5 6
Primeiro, calculamos o determinante de A:
det(A) = (2)(4) - (3)(1) = 8 - 3 = 5
Como o determinante é diferente de zero, a inversa existe:
A^-1 = 15 4 & -3 -1 & 2 = 45 & -35 -15 & 25
Agora, multiplicamos A^-1 por B:
X = 45 & -35 -15 & 25 cdot 5 6 = 45 cdot 5 + (-35) cdot 6 -15 cdot 5 + 25 cdot 6 = 4 - 185 -1 + 125 = 205 - 185 -55 + 125 = 25 75

Resposta

A solução do sistema é:
X = 25 75

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