Resolva o sistema linear pelo Método de Gauss.
2 x-3 y+4 z & =8 -x+y+2 z & =7 x+2 y-5 z & =-10.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Gauss. O Método de Gauss é uma técnica para resolver sistemas lineares transformando as equações em uma forma mais simples, chamada de forma escalonada, para encontrar os valores das variáveis. Para isso, vamos manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez até encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial para facilitar a visualização:
2x - 3y + 4z = 8 - x + y + 2z = 7 x + 2y - 5z = -10

Passo 3

O objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde conseguimos eliminar uma variável de cada vez. Vamos começar pelo 2x - 3y + 4z = 8 (Equação 1) .
Primeira Equação:
- x + y + 2z = 7 (Equação 2) çã
Segunda Equação:
x + 2y - 5z = -10 (Equação 3) çã
Terceira Equação:
çã

Passo 4

Vamos eliminar o ( -12 times Equação 1 ) + Equação 2: da Equação 2 e da Equação 3 usando a Equação 1.
Para eliminar - x + 32y - 2z + (- x + y + 2z) = -4 + 7 da Equação 2, multiplicamos a Equação 1 por -2x + 52y = 3 (Nova Equação 2) e somamos com a Equação 2:
( 12 times Equação 1 ) + Equação 3: çãçã
x - 32y + 2z + x + 2y - 5z = 4 + (-10)
2x + 12y - 3z = -6 (Nova Equação 3) çã
Para eliminar da Equação 3, multiplicamos a Equação 1 por e somamos com a Equação 3:
çãçã
çã

Passo 5

Agora temos o sistema atualizado:
2x - 3y + 4z = 8 (Equação 1) -2x + 52y = 3 (Nova Equação 2) 2x + 12y - 3z = -6 (Nova Equação 3) çãçãçã
Vamos agora eliminar o novamente para simplificar ainda mais.

Passo 6

Some a Nova Equação 2 e a Nova Equação 3 para eliminar o -2x + 52y + 2x + 12y - 3z = 3 + (-6) :
3y - 3z = -3
y - z = -1 (Equação 4)
çã

Passo 7

Agora, voltamos à Equação 2 para encontrar o valor de -2x + 52y = 3 (Nova Equação 2) :
y - z = -1 implies y = z - 1 çã
Mas precisamos de uma equação sem , então vamos usar a Equação 4:

Passo 8

Substituímos -2x + 52(z - 1) = 3 na Nova Equação 2:
-2x + 52z - 52 = 3
-2x + 52z = 112
-4x + 5z = 11 (Equação 5)
çã

Passo 9

Agora, vamos usar a Equação 1 para expressar 2x - 3y + 4z = 8 em termos de 2x - 3(z - 1) + 4z = 8 e 2x - 3z + 3 + 4z = 8 :
2x + z = 5
Substituindo 2x = 5 - z :
x = 5 - z2 (Equação 6)
çã

Passo 10

Agora, substituímos -4(5 - z2) + 5z = 11 na Equação 5:
-2(5 - z) + 5z = 11
-10 + 2z + 5z = 11
7z = 21
z = 3

Passo 11

Com y = z - 1 = 3 - 1 = 2 , encontramos usando a Equação 4:

Passo 12

Finalmente, encontramos x = 5 - z2 = 5 - 32 = 22 = 1 usando a Equação 6:

Resposta

A solução do sistema é:
x = 1, y = 2, z = 3

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