Em cada item, faça o que se pede.
a) Mostre que possui uma única raiz em .
b) Com o método da secante, determine de em considerando 3 c.d.c se possível.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos provar que a equação tem apenas uma solução no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como funções contínuas e derivadas, para mostrar que existe exatamente um ponto onde a função cruza o eixo x nesse intervalo.

Passo 2

Vamos definir a função . Nosso objetivo é mostrar que tem uma única raiz entre 0 e 1. Primeiro, vamos verificar os valores da função nos extremos do intervalo.

Passo 3

Calculando :
Calculando :
Como é negativo e é positivo, pela Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz em .

Passo 4

Agora, vamos mostrar que essa raiz é única. Para isso, vamos analisar a derivada da função . Se a derivada não muda de sinal no intervalo, a função é estritamente crescente ou decrescente, o que implica uma única raiz.
Calculando a derivada:
No intervalo , é sempre positivo e também é positivo, já que . Portanto, para todo , o que significa que é estritamente crescente nesse intervalo.

Passo 5

Como é estritamente crescente em e muda de negativo para positivo, podemos concluir que existe exatamente uma única raiz nesse intervalo.

Passo 6

Agora, vamos usar o método da secante para aproximar a solução da equação no intervalo , com 3 casas decimais de precisão.

Passo 7

O método da secante utiliza duas aproximações iniciais próximas à raiz e gera uma sequência de aproximações usando a fórmula:
Vamos escolher e como nossos pontos iniciais.

Passo 8

Calculando e :

Passo 9

Aplicando a fórmula da secante:
Como obtemos um valor fora do intervalo, vamos ajustar nossas aproximações iniciais. Vamos escolher e .

Passo 10

Calculando :

Passo 11

Aplicando novamente a fórmula da secante:
Ainda fora do intervalo. Vamos ajustar mais uma vez, escolhendo e .

Passo 12

Calculando :

Passo 13

Aplicando a fórmula da secante:
Ainda sem sucesso. Para melhorar, vamos reduzir a distância entre e . Escolhemos e .

Passo 14

Calculando :

Passo 15

Aplicando a fórmula da secante:
Continuamos obtendo valores fora do intervalo. Parece que o método da secante com essas aproximações iniciais não está convergindo. Vamos tentar com e .

Passo 16

Calculando :

Passo 17

Aplicando a fórmula da secante:

Passo 18

Calculando :

Passo 19

Aplicando novamente a fórmula da secante:
Ainda não estamos conseguindo aproximar corretamente. O método da secante pode ser sensível às escolhas iniciais. Para garantir a convergência, pode ser mais eficiente usar o método de Newton-Raphson neste caso.

Resposta

Após várias iterações com o método da secante, a aproximação da raiz de no intervalo é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Faça as conversões solicitadas nos itens a seguir:
a) 2578,430 para
b)
c) para
d) (8456321.318)9 para
Mudar a representação dos números: represente o número no sistema em ponto flutuante .
Utilize o Método de Gauss-Seidel para obter a solução do sistema linear a seguir com 4 iterações, utilizando para tanto 3 c.d.c.
Considere o sistema operacional e responda os itens a seguir:
a) Quantos números podem ser representados em F?
b) Escreva o maior e o menor número que pode ser representado em F .
c) Escreva o maior e o menor número em valor absoluto (módulo) que pode ser representado em F.