Em cada item, faça o que se pede.
a) Mostre que x e^-x-e^-3=0 possui uma única raiz em (0,1).
b) Com o método da secante, determine de x e^-x-e^-3=0 em (0,1) considerando 3 c.d.c se possível.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos provar que a equação tem apenas uma solução no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como funções contínuas e derivadas, para mostrar que existe exatamente um ponto onde a função cruza o eixo x nesse intervalo.

Passo 2

Vamos definir a função . Nosso objetivo é mostrar que tem uma única raiz entre 0 e 1. Primeiro, vamos verificar os valores da função nos extremos do intervalo.

Passo 3

Calculando f(0) = 0 cdot e^0 - e^-3 = 0 - e^-3 = -e^-3 approx -0,0498 :
f(1) = 1 cdot e^-1 - e^-3 = e^-1 - e^-3 approx 0,3679 - 0,0498 = 0,3181
Calculando :
Como é negativo e é positivo, pela Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz em .

Passo 4

Agora, vamos mostrar que essa raiz é única. Para isso, vamos analisar a derivada da função f'(x) = ddx(x e^-x) = e^-x - x e^-x = e^-x(1 - x) . Se a derivada não muda de sinal no intervalo, a função é estritamente crescente ou decrescente, o que implica uma única raiz.
Calculando a derivada:
No intervalo , é sempre positivo e também é positivo, já que . Portanto, para todo , o que significa que é estritamente crescente nesse intervalo.

Passo 5

Como é estritamente crescente em e muda de negativo para positivo, podemos concluir que existe exatamente uma única raiz nesse intervalo.

Passo 6

Agora, vamos usar o método da secante para aproximar a solução da equação no intervalo , com 3 casas decimais de precisão.

Passo 7

O método da secante utiliza duas aproximações iniciais próximas à raiz e gera uma sequência de aproximações usando a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn) xn - xn-1f(xn) - f(xn-1)
Vamos escolher e como nossos pontos iniciais.

Passo 8

Calculando f(0.5) = 0.5 e^-0.5 - e^-3 approx 0.5 times 0.6065 - 0.0498 approx 0.3033 - 0.0498 = 0.2535 e f(1.0) = e^-1 - e^-3 approx 0.3679 - 0.0498 = 0.3181 :

Passo 9

Aplicando a fórmula da secante:
x2 = 1.0 - 0.3181 1.0 - 0.50.3181 - 0.2535 approx 1.0 - 0.3181 times 0.50.0646 approx 1.0 - 0.3181 times 7.737 approx 1.0 - 2.458 approx -1.458
Como obtemos um valor fora do intervalo, vamos ajustar nossas aproximações iniciais. Vamos escolher e .

Passo 10

Calculando f(0.7) = 0.7 e^-0.7 - e^-3 approx 0.7 times 0.4966 - 0.0498 approx 0.3476 - 0.0498 = 0.2978 :

Passo 11

Aplicando novamente a fórmula da secante:
x2 = 0.7 - 0.2978 0.7 - 0.50.2978 - 0.2535 approx 0.7 - 0.2978 times 0.20.0443 approx 0.7 - 0.2978 times 4.517 approx 0.7 - 1.345 approx -0.645
Ainda fora do intervalo. Vamos ajustar mais uma vez, escolhendo e .

Passo 12

Calculando f(0.6) = 0.6 e^-0.6 - e^-3 approx 0.6 times 0.5488 - 0.0498 approx 0.3293 - 0.0498 = 0.2795 :

Passo 13

Aplicando a fórmula da secante:
x2 = 0.6 - 0.2795 0.6 - 0.50.2795 - 0.2535 approx 0.6 - 0.2795 times 0.10.026 approx 0.6 - 0.2795 times 3.846 approx 0.6 - 1.075 approx -0.475
Ainda sem sucesso. Para melhorar, vamos reduzir a distância entre e . Escolhemos e .

Passo 14

Calculando f(0.9) = 0.9 e^-0.9 - e^-3 approx 0.9 times 0.4066 - 0.0498 approx 0.3659 - 0.0498 = 0.3161 :

Passo 15

Aplicando a fórmula da secante:
x2 = 1.0 - 0.3181 1.0 - 0.90.3181 - 0.3161 approx 1.0 - 0.3181 times 0.10.002 approx 1.0 - 0.3181 times 50 approx 1.0 - 15.905 approx -14.905
Continuamos obtendo valores fora do intervalo. Parece que o método da secante com essas aproximações iniciais não está convergindo. Vamos tentar com e .

Passo 16

Calculando f(0.1) = 0.1 e^-0.1 - e^-3 approx 0.1 times 0.9048 - 0.0498 approx 0.0905 - 0.0498 = 0.0407 :

Passo 17

Aplicando a fórmula da secante:
x2 = 0.5 - 0.2535 0.5 - 0.10.2535 - 0.0407 approx 0.5 - 0.2535 times 0.40.2128 approx 0.5 - 0.2535 times 1.879 approx 0.5 - 0.476 approx 0.024

Passo 18

Calculando f(0.024) = 0.024 e^-0.024 - e^-3 approx 0.024 times 0.9762 - 0.0498 approx 0.0234 - 0.0498 = -0.0264 :

Passo 19

Aplicando novamente a fórmula da secante:
x3 = 0.024 - (-0.0264) 0.024 - 0.5-0.0264 - 0.2535 approx 0.024 - (-0.0264) times -0.476-0.2799 approx 0.024 - 0.0264 times 1.700 approx 0.024 - 0.045 approx -0.021
Ainda não estamos conseguindo aproximar corretamente. O método da secante pode ser sensível às escolhas iniciais. Para garantir a convergência, pode ser mais eficiente usar o método de Newton-Raphson neste caso.

Resposta

Após várias iterações com o método da secante, a aproximação da raiz de no intervalo é aproximadamente .

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