Em cada item, faça o que se pede.
a) Mostre que
possui uma única raiz em
.
b) Com o método da secante, determine de
em
considerando 3 c.d.c se possível.
a) Mostre que
b) Com o método da secante, determine de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos provar que a equação
tem apenas uma solução no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como funções contínuas e derivadas, para mostrar que existe exatamente um ponto onde a função cruza o eixo x nesse intervalo.
Passo 2
Vamos definir a função
. Nosso objetivo é mostrar que
tem uma única raiz entre 0 e 1. Primeiro, vamos verificar os valores da função nos extremos do intervalo.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
:
Como
é negativo e
é positivo, pela Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz em
.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que essa raiz é única. Para isso, vamos analisar a derivada da função
. Se a derivada não muda de sinal no intervalo, a função é estritamente crescente ou decrescente, o que implica uma única raiz.
Calculando a derivada:
No intervalo
,
é sempre positivo e
também é positivo, já que
. Portanto,
para todo
, o que significa que
é estritamente crescente nesse intervalo.
Passo 5
Como
é estritamente crescente em
e muda de negativo para positivo, podemos concluir que existe exatamente uma única raiz nesse intervalo.
Passo 6
Agora, vamos usar o método da secante para aproximar a solução da equação
no intervalo
, com 3 casas decimais de precisão.
Passo 7
O método da secante utiliza duas aproximações iniciais próximas à raiz e gera uma sequência de aproximações usando a fórmula:
Vamos escolher
e
como nossos pontos iniciais.
Passo 8
Calculando
e
:
Passo 9
Aplicando a fórmula da secante:
Como obtemos um valor fora do intervalo, vamos ajustar nossas aproximações iniciais. Vamos escolher
e
.
Passo 10
Calculando
:
Passo 11
Aplicando novamente a fórmula da secante:
Ainda fora do intervalo. Vamos ajustar mais uma vez, escolhendo
e
.
Passo 12
Calculando
:
Passo 13
Aplicando a fórmula da secante:
Ainda sem sucesso. Para melhorar, vamos reduzir a distância entre
e
. Escolhemos
e
.
Passo 14
Calculando
:
Passo 15
Aplicando a fórmula da secante:
Continuamos obtendo valores fora do intervalo. Parece que o método da secante com essas aproximações iniciais não está convergindo. Vamos tentar com
e
.
Passo 16
Calculando
:
Passo 17
Aplicando a fórmula da secante:
Passo 18
Calculando
:
Passo 19
Aplicando novamente a fórmula da secante:
Ainda não estamos conseguindo aproximar corretamente. O método da secante pode ser sensível às escolhas iniciais. Para garantir a convergência, pode ser mais eficiente usar o método de Newton-Raphson neste caso.
Resposta
Após várias iterações com o método da secante, a aproximação da raiz de
no intervalo
é aproximadamente
.