Em cada item, faça o que se pede.
a) Mostre que possui uma única raiz em .
b) Com o método da secante, determine de em considerando 3 c.d.c se possível.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos provar que a equação tem apenas uma solução no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como funções contínuas e derivadas, para mostrar que existe exatamente um ponto onde a função cruza o eixo x nesse intervalo.
Passo 2
Vamos definir a função . Nosso objetivo é mostrar que tem uma única raiz entre 0 e 1. Primeiro, vamos verificar os valores da função nos extremos do intervalo.
Passo 3
Calculando :
Calculando :
Como é negativo e é positivo, pela Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz em .
Passo 4
Agora, vamos mostrar que essa raiz é única. Para isso, vamos analisar a derivada da função . Se a derivada não muda de sinal no intervalo, a função é estritamente crescente ou decrescente, o que implica uma única raiz.
Calculando a derivada:
No intervalo , é sempre positivo e também é positivo, já que . Portanto, para todo , o que significa que é estritamente crescente nesse intervalo.
Passo 5
Como é estritamente crescente em e muda de negativo para positivo, podemos concluir que existe exatamente uma única raiz nesse intervalo.
Passo 6
Agora, vamos usar o método da secante para aproximar a solução da equação no intervalo , com 3 casas decimais de precisão.
Passo 7
O método da secante utiliza duas aproximações iniciais próximas à raiz e gera uma sequência de aproximações usando a fórmula:
Vamos escolher e como nossos pontos iniciais.
Passo 8
Calculando e :
Passo 9
Aplicando a fórmula da secante:
Como obtemos um valor fora do intervalo, vamos ajustar nossas aproximações iniciais. Vamos escolher e .
Passo 10
Calculando :
Passo 11
Aplicando novamente a fórmula da secante:
Ainda fora do intervalo. Vamos ajustar mais uma vez, escolhendo e .
Passo 12
Calculando :
Passo 13
Aplicando a fórmula da secante:
Ainda sem sucesso. Para melhorar, vamos reduzir a distância entre e . Escolhemos e .
Passo 14
Calculando :
Passo 15
Aplicando a fórmula da secante:
Continuamos obtendo valores fora do intervalo. Parece que o método da secante com essas aproximações iniciais não está convergindo. Vamos tentar com e .
Passo 16
Calculando :
Passo 17
Aplicando a fórmula da secante:
Passo 18
Calculando :
Passo 19
Aplicando novamente a fórmula da secante:
Ainda não estamos conseguindo aproximar corretamente. O método da secante pode ser sensível às escolhas iniciais. Para garantir a convergência, pode ser mais eficiente usar o método de Newton-Raphson neste caso.
Resposta
Após várias iterações com o método da secante, a aproximação da raiz de no intervalo é aproximadamente .