Faça as conversões solicitadas nos itens a seguir:
a) 2578,430 para beta=5
b) 31412,800 beta=2
c) (312021.4321)5 para beta=10
d) (8456321.318)9 para beta=6

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos quatro conversões de bases de números diferentes que precisamos resolver. Isso envolve entender como mudar um número de uma base para outra, como da base 10 para a base 5, de base 2 para a base 10, etc. Para fazer isso, vamos precisar saber como manipular as casas de cada base e aplicar algumas fórmulas básicas de conversão.

Passo 2

a) Converter 2578,430 para beta=5
Primeiro, vamos converter a parte inteira do número de base 10 para a base 5. Para isso, dividimos o número sucessivamente por 5 e anotamos os restos.
2578 ÷ 5 = 515 com resto 3
515 ÷ 5 = 103 com resto 0
103 ÷ 5 = 20 com resto 3
20 ÷ 5 = 4 com resto 0
4 ÷ 5 = 0 com resto 4
Agora, lemos os restos de baixo para cima: 40303.
Para a parte decimal, multiplicamos por 5 e pegamos a parte inteira repetidamente.
0,430 × 5 = 2,15 → 2
0,15 × 5 = 0,75 → 0
0,75 × 5 = 3,75 → 3
0,75 × 5 = 3,75 → 3
Então, a parte decimal fica 2033.

Passo 3

b) Converter 31412,800 de beta=2 para base 10
Vamos converter a parte inteira e a parte decimal separadamente.
Para a parte inteira:
3 times 2^4 + 1 times 2^3 + 4 times 2^2 + 1 times 2^1 + 2 times 2^0
No entanto, percebemos que na base 2 só existem 0 e 1, então há um erro no enunciado. Vamos considerar que o número está correto em outra base, ou revisar o enunciado.

Passo 4

c) Converter (312021.4321)5 para beta=10
Primeiro, convertemos a parte inteira:
3 times 5^5 + 1 times 5^4 + 2 times 5^3 + 0 times 5^2 + 2 times 5^1 + 1 times 5^0
Calculando:
3 times 3125 + 1 times 625 + 2 times 125 + 0 + 2 times 5 + 1 = 9375 + 625 + 250 + 0 + 10 + 1 = 10261
Agora, a parte decimal:
4 times 5^-1 + 3 times 5^-2 + 2 times 5^-3 + 1 times 5^-4
Calculando:
4 times 0,2 + 3 times 0,04 + 2 times 0,008 + 1 times 0,0016 = 0,8 + 0,12 + 0,016 + 0,0016 = 0,9376
Portanto, o número em base 10 é 10261,9376.

Passo 5

d) Converter (8456321.318)9 para beta=6
Primeiro, vamos converter de base 9 para base 10 e depois de base 10 para base 6.
Parte inteira em base 10:
8 times 9^6 + 4 times 9^5 + 5 times 9^4 + 6 times 9^3 + 3 times 9^2 + 2 times 9^1 + 1 times 9^0
Calculando:
8 times 531441 + 4 times 59049 + 5 times 6561 + 6 times 729 + 3 times 81 + 2 times 9 + 1 = 4251528 + 236196 + 32805 + 4374 + 243 + 18 + 1 = 4527955
Parte decimal em base 10:
3 times 9^-1 + 1 times 9^-2 + 8 times 9^-3 = 3 times 0,111 + 1 times 0,0123 + 8 times 0,001371 approx 0,333 + 0,0123 + 0,01097 = 0,3563
Agora, convertendo 4527955,3563 de base 10 para base 6.
Parte inteira para base 6:
Dividimos sucessivamente por 6:
4527955 ÷ 6 = 754659 com resto 1
754659 ÷ 6 = 125776 com resto 3
125776 ÷ 6 = 20962 com resto 4
20962 ÷ 6 = 3493 com resto 4
3493 ÷ 6 = 582 com resto 1
582 ÷ 6 = 97 com resto 0
97 ÷ 6 = 16 com resto 1
16 ÷ 6 = 2 com resto 4
2 ÷ 6 = 0 com resto 2
Lendo os restos de baixo para cima: 21410341.
Parte decimal para base 6:
Multiplicamos a parte decimal por 6:
0,3563 × 6 = 2,1378 → 2
0,1378 × 6 = 0,8268 → 0
0,8268 × 6 = 4,9608 → 4
0,9608 × 6 = 5,7648 → 5
0,7648 × 6 = 4,5888 → 4
Então, a parte decimal fica 20454.

Resposta

a) 2578,43010 = 40303,20335
b) O item b) contém um erro no enunciado, pois na base 2 só existem os dígitos 0 e 1.
c) (312021.4321)5 = 10261,937610
d) (8456321.318)9 = 21410341,204546

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