Utilize o Método de Gauss-Seidel para obter a solução do sistema linear a seguir com 4 iterações, utilizando para tanto 3 c.d.c.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o Método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas de equações lineares. Precisamos fazer 4 iterações e manter os resultados com 3 casas decimais. Para isso, vamos reorganizar o sistema de maneira que cada variável seja isolada nas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar cada equação do sistema para isolar uma variável. Isso facilita as substituições nas iterações seguintes.
-
Primeira Equação:
2x1 - x2 + 10x3 = 11 Rightarrow x1 = 11 + x2 - 10x32 -
Segunda Equação:
x1 + 10x2 + x3 = 12 Rightarrow x2 = 12 - x1 - x310 -
Terceira Equação:
10x1 + x2 - x3 = 10 Rightarrow x3 = 10x1 + x2 - 10
Agora, temos as três equações prontas para as iterações.
Passo 3
Vamos iniciar com valores iniciais para as variáveis. Geralmente, começamos com:
Passo 4
Iteração 1:
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Calcular
:x1^(1) = 11 + x2^(0) - 10x3^(0)2 = 11 + 0 - 02 = 5.5 x2^(1) = 12 - x1^(1) - x3^(0)10 = 12 - 5.5 - 010 = 0.65 -
Calcular
:x3^(1) = 10x1^(1) + x2^(1) - 10 = 10(5.5) + 0.65 - 10 = 55 + 0.65 - 10 = 45.65 -
Calcular
:
Passo 5
Iteração 2:
-
Calcular
:x1^(2) = 11 + x2^(1) - 10x3^(1)2 = 11 + 0.65 - 456.52 = -444.852 = -222.425 x2^(2) = 12 - x1^(2) - x3^(1)10 = 12 - (-222.425) - 45.6510 = 12 + 222.425 - 45.6510 = 188.77510 = 18.8775 -
Calcular
:x3^(2) = 10x1^(2) + x2^(2) - 10 = 10(-222.425) + 18.8775 - 10 = -2224.25 + 18.8775 - 10 = -2215.3725 -
Calcular
:
Passo 6
Iteração 3:
-
Calcular
:x1^(3) = 11 + x2^(2) - 10x3^(2)2 = 11 + 18.8775 - 10(-2215.3725)2 = 11 + 18.8775 + 22153.7252 = 22183.60252 = 11091.80125 x2^(3) = 12 - x1^(3) - x3^(2)10 = 12 - 11091.80125 - (-2215.3725)10 = 12 - 11091.80125 + 2215.372510 = -8876.4287510 = -887.642875 -
Calcular
:x3^(3) = 10x1^(3) + x2^(3) - 10 = 10(11091.80125) + (-887.642875) - 10 = 110918.0125 - 887.642875 - 10 = 110020.3696 -
Calcular
:
Passo 7
Iteração 4:
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Calcular
:x1^(4) = 11 + x2^(3) - 10x3^(3)2 = 11 + (-887.642875) - 10(110020.3696)2 = 11 - 887.642875 - 1,100,203.6962 = -1,101,080.3388752 = -550,540.1694375 x2^(4) = 12 - x1^(4) - x3^(3)10 = 12 - (-550,540.1694375) - 110,020.369610 = 12 + 550,540.1694375 - 110,020.369610 = 440,531.799837510 = 44,053.179984 -
Calcular
:x3^(4) = 10x1^(4) + x2^(4) - 10 = 10(-550,540.1694375) + 44,053.179984 - 10 = -5,505,401.694375 + 44,053.179984 - 10 = -5,461,358.514391 -
Calcular
:
Resposta
Após 4 iterações usando o Método de Gauss-Seidel, as soluções aproximadas são: