Para cada um dos sistemas lineares a seguir, analise a existência ou não de solução, bem como unicidade de solução, no caso de haver existência.
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Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma equação linear com duas variáveis e . O conteúdo aqui é sobre sistemas lineares e como analisar se eles têm solução e se essa solução é única. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como a determinação de interseção de retas.

Passo 2

A equação dada é:
Como há apenas uma equação com duas incógnitas, isso representa uma reta no plano .

Passo 3

Como temos apenas uma reta, não há outra reta para cruzar e determinar um ponto específico de interseção. Portanto, existem infinitas soluções que satisfazem a equação, pois qualquer ponto na reta é uma solução.

Passo 4

Não há unicidade na solução porque há múltiplos pontos que podem satisfazer a equação.

Passo 5

Agora, temos um sistema com duas equações e duas variáveis e . O conteúdo continua sendo sistemas lineares. Precisamos verificar se há uma solução e se ela é única.

Passo 6

As equações são:

Passo 7

Vamos resolver o sistema usando o método da substituição. Primeiro, isolamos na segunda equação:

Passo 8

Substituímos na primeira equação:

Passo 9

Agora, substituímos de volta para encontrar :

Passo 10

Como encontramos valores específicos para e , o sistema tem uma solução única.

Passo 11

Aqui temos um sistema com duas equações e três variáveis , , e . Vamos analisar a existência e unicidade da solução usando conceitos de álgebra linear.

Passo 12

As equações são:

Passo 13

Vamos montar a matriz aumentada e verificar o posto:

Passo 14

Vamos simplificar a segunda linha dividindo por 3:

Passo 15

Subtraímos 2 vezes a segunda linha da primeira:
Ficando:

Passo 16

A primeira equação reduzida é:

Passo 17

Substituindo na segunda equação:

Passo 18

Essa equação tem infinitas soluções para e . Por exemplo, se , então ; se , então , etc.

Passo 19

Como há infinitas soluções para e com , o sistema tem infinitas soluções.

Passo 20

Temos uma equação com quatro variáveis , , , e . Precisamos verificar se há soluções e se são únicas utilizando álgebra linear.

Passo 21

A equação é:
Como há apenas uma equação com quatro incógnitas, representa um hiperplano no espaço de quatro dimensões.

Passo 22

Como somente uma equação está presente, há infinitas soluções que satisfazem a equação, pois múltiplas combinações de , , , e podem resultar em 10.

Passo 23

Não há unicidade na solução, já que podemos escolher valores para três variáveis e resolver a quarta.

Passo 24

Agora, temos um sistema com duas equações e três variáveis , , e . Vamos verificar a existência e a unicidade das soluções.

Passo 25

As equações são:

Passo 26

Vamos simplificar a segunda equação dividindo por 2:

Passo 27

Subtraímos a primeira equação da segunda:

Passo 28

Substituímos na primeira equação:

Passo 29

Essa equação tem várias soluções para e . Por exemplo, se escolhermos , então ; se , , etc.

Passo 30

Como há infinitas combinações para e com , o sistema tem infinitas soluções.

Passo 31

Temos um sistema com três equações e três variáveis , , e . Vamos verificar se há solução e se é única.

Passo 32

As equações são:

Passo 33

Vamos usar o método de escalonamento. Primeiro, Tornamos a primeira variável nosso pivô.

Passo 34

Multiplicamos a segunda equação por 3 e subtraímos da primeira para eliminar :

Passo 35

Multiplicamos a primeira equação por 3 e subtraímos da terceira para eliminar :

Passo 36

Agora, temos o sistema reduzido:

Passo 37

Vamos resolver para e usando o método de substituição. Multiplicamos a primeira equação por 10 e a segunda por 7:

Passo 38

Subtraímos a segunda equação da primeira:

Passo 39

Substituímos na primeira equação reduzida:

Passo 40

Agora, substituímos e na primeira equação original para encontrar :

Passo 41

Agora, temos um sistema com três equações e três variáveis , , e . Vamos analisar a existência e unicidade das soluções.

Passo 42

As equações são:

Passo 43

Vamos usar o método de escalonamento. Primeiro, escolhemos a primeira equação como pivô para eliminar nas outras equações.

Passo 44

Multiplicamos a segunda equação por 2 e subtraímos da primeira para eliminar :

Passo 45

Multiplicamos a segunda equação por 4 e subtraímos da terceira para eliminar :

Passo 46

Observamos que as duas novas equações são iguais:

Passo 47

Isso significa que há duas equações independentes e uma dependente, resultando em infinitas soluções.

Passo 48

Temos um sistema com três equações e três variáveis , , e . Vamos verificar a existência e unicidade das soluções.

Passo 49

As equações são:

Passo 50

Vamos observar se as equações são múltiplos umas das outras. Multiplicando a primeira equação por 6:
Comparando com a segunda equação:
Subtraindo:

Passo 51

Substituímos na primeira equação:

Passo 52

Substituímos na terceira equação:

Passo 53

As duas equações reduzidas são iguais, então temos apenas uma equação para e . Isso significa que há infinitas soluções com .

Passo 54

Podemos escolher um valor para e encontrar . Por exemplo, se , então ; se , então , etc.

Passo 55

Temos um sistema com três equações e três variáveis , , e . Vamos analisar a existência e unicidade das soluções.

Passo 56

As equações são:

Passo 57

Observamos que a terceira equação é vezes a primeira equação:
Comparando com a terceira equação fornecida:
Isso resulta em uma contradição:

Passo 58

Como há uma contradição nas equações, o sistema não tem solução.

Passo 59

Temos um sistema com quatro equações e duas variáveis e . Vamos verificar se há solução e se é única.

Passo 60

As equações são:

Passo 61

Vamos simplificar as equações:
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:
Quarta equação:

Passo 62

Observamos que:
Essas três equações são inconsistentes entre si.

Passo 63

Como as equações não são compatíveis, o sistema não tem solução.

Passo 64

Temos um sistema com cinco equações e três variáveis , , e . Vamos verificar se há solução e se é única.

Passo 65

As equações são:

Passo 66

Vamos organizar o sistema e usar métodos de eliminação para simplificar.

Passo 67

Primeiro, resolveremos a segunda equação para :

Passo 68

Substituímos nas outras equações:
Terceira equação:
çã
Quarta equação:
çã
Quinta equação:
çã

Passo 69

Agora, temos o sistema reduzido:

Passo 70

Vamos resolver Equação A para :

Passo 71

Substituímos na Equação B:

Passo 72

Substituindo em :

Passo 73

Agora, substituímos e na Equação C para verificar a consistência:
Está correto.

Passo 74

Agora, encontramos usando :

Resposta

Há uma solução única: , , e .

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