Para cada um dos sistemas lineares a seguir, analise a existência ou não de solução, bem como unicidade de solução, no caso de haver existência.
31a)
31b)
31c)
31d)
31e)
31f)
31g) rr2 x-y+3 z= & 8 x-5 y+z= & -1 4 x-11 y+5 z= & 6
31h) rx-3 y+z=1 6 x-18 y+4 z=2 7 x-21 y+5 z=3
31i) rx-3 y+z=1 6 x-18 y+4 z=2 -x+3 y-z=4
31j) r6 u-3 v=6 3 u-1.5 v=3 2 u-v=8 8 u-4 v=1.7
31k) rr4 a+5 b+7 c= & 1 -a-b-c= & 2 3 a+4 b+6 c= & 3 -a+b+7 c= & -11 2 a+5 b+13 c= & -8
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma equação linear com duas variáveis e . O conteúdo aqui é sobre sistemas lineares e como analisar se eles têm solução e se essa solução é única. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como a determinação de interseção de retas.
Passo 2
A equação dada é:
3x + 2y = 7
Como há apenas uma equação com duas incógnitas, isso representa uma reta no plano .
Passo 3
Como temos apenas uma reta, não há outra reta para cruzar e determinar um ponto específico de interseção. Portanto, existem infinitas soluções que satisfazem a equação, pois qualquer ponto na reta é uma solução.
Passo 4
Não há unicidade na solução porque há múltiplos pontos que podem satisfazer a equação.
Passo 5
Agora, temos um sistema com duas equações e duas variáveis e . O conteúdo continua sendo sistemas lineares. Precisamos verificar se há uma solução e se ela é única.
Passo 6
As equações são:
4m - 2k = 8 5m + k = 20
Passo 7
Vamos resolver o sistema usando o método da substituição. Primeiro, isolamos k = 20 - 5m na segunda equação:
Passo 8
Substituímos 4m - 2(20 - 5m) = 8 na primeira equação:
4m - 40 + 10m = 8
14m - 40 = 8
14m = 48
m = 4814 = 247
Passo 9
Agora, substituímos k = 20 - 5(247) de volta para encontrar k = 20 - 1207 :
k = 1407 - 1207
k = 207
Passo 10
Como encontramos valores específicos para e , o sistema tem uma solução única.
Passo 11
Aqui temos um sistema com duas equações e três variáveis , , e . Vamos analisar a existência e unicidade da solução usando conceitos de álgebra linear.
Passo 12
As equações são:
4x1 + 2x2 - 3x3 = 4 6x1 + 3x2 - 4x3 = 6
Passo 13
Vamos montar a matriz aumentada e verificar o posto:
4 & 2 & -3 & | & 4 6 & 3 & -4 & | & 6
Passo 14
Vamos simplificar a segunda linha dividindo por 3: