Para cada um dos sistemas lineares a seguir, analise a existência ou não de solução, bem como unicidade de solução, no caso de haver existência.
31a) 3 x+2 y=7
31b) 4 m-2 k & =8 5 m+k & =20
31c) l4 x1+2 x2-3 x3=4 6 x1+3 x2-4 x3=6
31d) 6 x+4 y-3 z+w=10
31e) l3 x1-x2+4 x3=6 6 x1-2 x2+5 x3=8
31f) rr3 x-2 y+z= & 8 x-3 y+4 z=6 9 x+4 y-5 z= & 11
31g) rr2 x-y+3 z= & 8 x-5 y+z= & -1 4 x-11 y+5 z= & 6
31h) rx-3 y+z=1 6 x-18 y+4 z=2 7 x-21 y+5 z=3
31i) rx-3 y+z=1 6 x-18 y+4 z=2 -x+3 y-z=4
31j) r6 u-3 v=6 3 u-1.5 v=3 2 u-v=8 8 u-4 v=1.7
31k) rr4 a+5 b+7 c= & 1 -a-b-c= & 2 3 a+4 b+6 c= & 3 -a+b+7 c= & -11 2 a+5 b+13 c= & -8

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma equação linear com duas variáveis e . O conteúdo aqui é sobre sistemas lineares e como analisar se eles têm solução e se essa solução é única. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como a determinação de interseção de retas.

Passo 2

A equação dada é:
3x + 2y = 7
Como há apenas uma equação com duas incógnitas, isso representa uma reta no plano .

Passo 3

Como temos apenas uma reta, não há outra reta para cruzar e determinar um ponto específico de interseção. Portanto, existem infinitas soluções que satisfazem a equação, pois qualquer ponto na reta é uma solução.

Passo 4

Não há unicidade na solução porque há múltiplos pontos que podem satisfazer a equação.

Passo 5

Agora, temos um sistema com duas equações e duas variáveis e . O conteúdo continua sendo sistemas lineares. Precisamos verificar se há uma solução e se ela é única.

Passo 6

As equações são:
4m - 2k = 8 5m + k = 20

Passo 7

Vamos resolver o sistema usando o método da substituição. Primeiro, isolamos k = 20 - 5m na segunda equação:

Passo 8

Substituímos 4m - 2(20 - 5m) = 8 na primeira equação:
4m - 40 + 10m = 8
14m - 40 = 8
14m = 48
m = 4814 = 247

Passo 9

Agora, substituímos k = 20 - 5(247) de volta para encontrar k = 20 - 1207 :
k = 1407 - 1207
k = 207

Passo 10

Como encontramos valores específicos para e , o sistema tem uma solução única.

Passo 11

Aqui temos um sistema com duas equações e três variáveis , , e . Vamos analisar a existência e unicidade da solução usando conceitos de álgebra linear.

Passo 12

As equações são:
4x1 + 2x2 - 3x3 = 4 6x1 + 3x2 - 4x3 = 6

Passo 13

Vamos montar a matriz aumentada e verificar o posto:
4 & 2 & -3 & | & 4 6 & 3 & -4 & | & 6

Passo 14

Vamos simplificar a segunda linha dividindo por 3:
4 & 2 & -3 & | & 4 2 & 1 & -43 & | & 2

Passo 15

Subtraímos 2 vezes a segunda linha da primeira:
4 - 2(2) = 0 2 - 2(1) = 0 -3 - 2(-43) = -3 + 83 = -13 4 - 2(2) = 0
Ficando:
0 & 0 & -13 & | & 0 2 & 1 & -43 & | & 2

Passo 16

A primeira equação reduzida é:
-13x3 = 0 Rightarrow x3 = 0

Passo 17

Substituindo 2x1 + x2 = 2 na segunda equação:

Passo 18

Essa equação tem infinitas soluções para e . Por exemplo, se , então ; se , então , etc.

Passo 19

Como há infinitas soluções para e com , o sistema tem infinitas soluções.

Passo 20

Temos uma equação com quatro variáveis , , , e . Precisamos verificar se há soluções e se são únicas utilizando álgebra linear.

Passo 21

A equação é:
6x + 4y - 3z + w = 10
Como há apenas uma equação com quatro incógnitas, representa um hiperplano no espaço de quatro dimensões.

Passo 22

Como somente uma equação está presente, há infinitas soluções que satisfazem a equação, pois múltiplas combinações de , , , e podem resultar em 10.

Passo 23

Não há unicidade na solução, já que podemos escolher valores para três variáveis e resolver a quarta.

Passo 24

Agora, temos um sistema com duas equações e três variáveis , , e . Vamos verificar a existência e a unicidade das soluções.

Passo 25

As equações são:
3x1 - x2 + 4x3 = 6 6x1 - 2x2 + 5x3 = 8

Passo 26

Vamos simplificar a segunda equação dividindo por 2:
3x1 - x2 + 52x3 = 4

Passo 27

Subtraímos a primeira equação da segunda:
(3x1 - x2 + 52x3) - (3x1 - x2 + 4x3) = 4 - 6
52x3 - 4x3 = -2
-32x3 = -2
x3 = 43

Passo 28

Substituímos 3x1 - x2 + 4(43) = 6 na primeira equação:
3x1 - x2 + 163 = 6
3x1 - x2 = 6 - 163
3x1 - x2 = 183 - 163
3x1 - x2 = 23

Passo 29

Essa equação tem várias soluções para e . Por exemplo, se escolhermos , então ; se , , etc.

Passo 30

Como há infinitas combinações para e com , o sistema tem infinitas soluções.

Passo 31

Temos um sistema com três equações e três variáveis , , e . Vamos verificar se há solução e se é única.

Passo 32

As equações são:
3x - 2y + z = 8 x - 3y + 4z = 6 9x + 4y - 5z = 11

Passo 33

Vamos usar o método de escalonamento. Primeiro, Tornamos a primeira variável nosso pivô.

Passo 34

Multiplicamos a segunda equação por 3 e subtraímos da primeira para eliminar 3(x - 3y + 4z) = 3(6) Rightarrow 3x - 9y + 12z = 18 :
(3x - 2y + z) - (3x - 9y + 12z) = 8 - 18
7y - 11z = -10

Passo 35

Multiplicamos a primeira equação por 3 e subtraímos da terceira para eliminar 3(3x - 2y + z) = 3(8) Rightarrow 9x - 6y + 3z = 24 :
(9x + 4y - 5z) - (9x - 6y + 3z) = 11 - 24
10y - 8z = -13

Passo 36

Agora, temos o sistema reduzido:
7y - 11z = -10 10y - 8z = -13

Passo 37

Vamos resolver para 70y - 110z = -100 70y - 56z = -91 e usando o método de substituição. Multiplicamos a primeira equação por 10 e a segunda por 7:

Passo 38

Subtraímos a segunda equação da primeira:
-54z = -9
z = 16

Passo 39

Substituímos 7y - 11(16) = -10 na primeira equação reduzida:
7y - 116 = -10
7y = -10 + 116
7y = -606 + 116 = -496
y = -76

Passo 40

Agora, substituímos 3x - 2(-76) + 16 = 8 e 3x + 73 + 16 = 8 na primeira equação original para encontrar 3x + 156 = 8 :
3x = 8 - 156 = 486 - 156 = 336
x = 116

Passo 41

Agora, temos um sistema com três equações e três variáveis , , e . Vamos analisar a existência e unicidade das soluções.

Passo 42

As equações são:
2x - y + 3z = 8 x - 5y + z = -1 4x - 11y + 5z = 6

Passo 43

Vamos usar o método de escalonamento. Primeiro, escolhemos a primeira equação como pivô para eliminar nas outras equações.

Passo 44

Multiplicamos a segunda equação por 2 e subtraímos da primeira para eliminar 2(x - 5y + z) = 2(-1) Rightarrow 2x - 10y + 2z = -2 :
(2x - y + 3z) - (2x - 10y + 2z) = 8 - (-2)
9y + z = 10

Passo 45

Multiplicamos a segunda equação por 4 e subtraímos da terceira para eliminar 4(x - 5y + z) = 4(-1) Rightarrow 4x - 20y + 4z = -4 :
(4x - 11y + 5z) - (4x - 20y + 4z) = 6 - (-4)
9y + z = 10

Passo 46

Observamos que as duas novas equações são iguais:
9y + z = 10

Passo 47

Isso significa que há duas equações independentes e uma dependente, resultando em infinitas soluções.

Passo 48

Temos um sistema com três equações e três variáveis , , e . Vamos verificar a existência e unicidade das soluções.

Passo 49

As equações são:
x - 3y + z = 1 6x - 18y + 4z = 2 7x - 21y + 5z = 3

Passo 50

Vamos observar se as equações são múltiplos umas das outras. Multiplicando a primeira equação por 6:
6(x - 3y + z) = 6(1) Rightarrow 6x - 18y + 6z = 6
Comparando com a segunda equação:
6x - 18y + 4z = 2
Subtraindo:
(6x - 18y + 6z) - (6x - 18y + 4z) = 6 - 2
2z = 4 Rightarrow z = 2

Passo 51

Substituímos x - 3y + 2 = 1 na primeira equação:
x - 3y = -1

Passo 52

Substituímos 7x - 21y + 5(2) = 3 na terceira equação:
7x - 21y + 10 = 3
7x - 21y = -7
x - 3y = -1

Passo 53

As duas equações reduzidas são iguais, então temos apenas uma equação para e . Isso significa que há infinitas soluções com .

Passo 54

Podemos escolher um valor para e encontrar . Por exemplo, se , então ; se , então , etc.

Passo 55

Temos um sistema com três equações e três variáveis , , e . Vamos analisar a existência e unicidade das soluções.

Passo 56

As equações são:
x - 3y + z = 1 6x - 18y + 4z = 2 -x + 3y - z = 4

Passo 57

Observamos que a terceira equação é -1(x - 3y + z) = -1(1) Rightarrow -x + 3y - z = -1 vezes a primeira equação:
-x + 3y - z = 4
Comparando com a terceira equação fornecida:
-1 neq 4
Isso resulta em uma contradição:

Passo 58

Como há uma contradição nas equações, o sistema não tem solução.

Passo 59

Temos um sistema com quatro equações e duas variáveis e . Vamos verificar se há solução e se é única.

Passo 60

As equações são:
6u - 3v = 6 3u - 1.5v = 3 2u - v = 8 8u - 4v = 1.7

Passo 61

Vamos simplificar as equações:
Primeira equação:
6u - 3v = 6 Rightarrow 2u - v = 2 (dividindo por 3)
Segunda equação:
Terceira equação:
3u - 1.5v = 3 Rightarrow 2u - v = 2 (mu
Quarta equação:
2u - v = 8

Passo 62

Observamos que:
2u - v = 2
2u - v = 8
2u - v = 0.425
Essas três equações são inconsistentes entre si.

Passo 63

Como as equações não são compatíveis, o sistema não tem solução.

Passo 64

Temos um sistema com cinco equações e três variáveis , , e . Vamos verificar se há solução e se é única.

Passo 65

As equações são:
4a + 5b + 7c = 1 -a - b - c = 2 3a + 4b + 6c = 3 -a + b + 7c = -11 2a + 5b + 13c = -8

Passo 66

Vamos organizar o sistema e usar métodos de eliminação para simplificar.

Passo 67

Primeiro, resolveremos a segunda equação para -a - b - c = 2 :
a = -b - c - 2

Passo 68

Substituímos 3(-b - c - 2) + 4b + 6c = 3 nas outras equações:
Terceira equação:
-3b - 3c - 6 + 4b + 6c = 3
b + 3c = 9 (Equação A)
-(-b - c - 2) + b + 7c = -11 çã
Quarta equação:
b + c + 2 + b + 7c = -11
2b + 8c = -13 (Equação B)
2(-b - c - 2) + 5b + 13c = -8 çã
Quinta equação:
-2b - 2c - 4 + 5b + 13c = -8
3b + 11c = -4 (Equação C)
çã

Passo 69

Agora, temos o sistema reduzido:
b + 3c = 9 (A) 2b + 8c = -13 (B) 3b + 11c = -4 (C)

Passo 70

Vamos resolver Equação A para b = 9 - 3c :

Passo 71

Substituímos 2(9 - 3c) + 8c = -13 na Equação B:
18 - 6c + 8c = -13
18 + 2c = -13
2c = -31
c = -312

Passo 72

Substituindo b = 9 - 3(-312) em b = 9 + 932 :
b = 182 + 932 = 1112

Passo 73

Agora, substituímos 3(1112) + 11(-312) = -4 e 3332 - 3412 = -4 na Equação C para verificar a consistência:
-82 = -4
-4 = -4
Está correto.

Passo 74

Agora, encontramos a = -1112 - (-312) - 2 usando a = -1112 + 312 - 2 :
a = -802 - 2 = -40 - 2 = -42

Resposta

Há uma solução única: , , e .

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