Para cada um dos sistemas lineares a seguir, analise a existência ou não de solução, bem como unicidade de solução, no caso de haver existência.
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Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma equação linear com duas variáveis e . O conteúdo aqui é sobre sistemas lineares e como analisar se eles têm solução e se essa solução é única. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como a determinação de interseção de retas.
Passo 2
A equação dada é:
Como há apenas uma equação com duas incógnitas, isso representa uma reta no plano .
Passo 3
Como temos apenas uma reta, não há outra reta para cruzar e determinar um ponto específico de interseção. Portanto, existem infinitas soluções que satisfazem a equação, pois qualquer ponto na reta é uma solução.
Passo 4
Não há unicidade na solução porque há múltiplos pontos que podem satisfazer a equação.
Passo 5
Agora, temos um sistema com duas equações e duas variáveis e . O conteúdo continua sendo sistemas lineares. Precisamos verificar se há uma solução e se ela é única.
Passo 6
As equações são:
Passo 7
Vamos resolver o sistema usando o método da substituição. Primeiro, isolamos na segunda equação:
Passo 8
Substituímos na primeira equação:
Passo 9
Agora, substituímos de volta para encontrar :
Passo 10
Como encontramos valores específicos para e , o sistema tem uma solução única.
Passo 11
Aqui temos um sistema com duas equações e três variáveis , , e . Vamos analisar a existência e unicidade da solução usando conceitos de álgebra linear.
Passo 12
As equações são:
Passo 13
Vamos montar a matriz aumentada e verificar o posto:
Passo 14
Vamos simplificar a segunda linha dividindo por 3:
Passo 15
Subtraímos 2 vezes a segunda linha da primeira:
Ficando:
Passo 16
A primeira equação reduzida é:
Passo 17
Substituindo na segunda equação:
Passo 18
Essa equação tem infinitas soluções para e . Por exemplo, se , então ; se , então , etc.
Passo 19
Como há infinitas soluções para e com , o sistema tem infinitas soluções.
Passo 20
Temos uma equação com quatro variáveis , , , e . Precisamos verificar se há soluções e se são únicas utilizando álgebra linear.
Passo 21
A equação é:
Como há apenas uma equação com quatro incógnitas, representa um hiperplano no espaço de quatro dimensões.
Passo 22
Como somente uma equação está presente, há infinitas soluções que satisfazem a equação, pois múltiplas combinações de , , , e podem resultar em 10.
Passo 23
Não há unicidade na solução, já que podemos escolher valores para três variáveis e resolver a quarta.
Passo 24
Agora, temos um sistema com duas equações e três variáveis , , e . Vamos verificar a existência e a unicidade das soluções.
Passo 25
As equações são:
Passo 26
Vamos simplificar a segunda equação dividindo por 2:
Passo 27
Subtraímos a primeira equação da segunda:
Passo 28
Substituímos na primeira equação:
Passo 29
Essa equação tem várias soluções para e . Por exemplo, se escolhermos , então ; se , , etc.
Passo 30
Como há infinitas combinações para e com , o sistema tem infinitas soluções.
Passo 31
Temos um sistema com três equações e três variáveis , , e . Vamos verificar se há solução e se é única.
Passo 32
As equações são:
Passo 33
Vamos usar o método de escalonamento. Primeiro, Tornamos a primeira variável nosso pivô.
Passo 34
Multiplicamos a segunda equação por 3 e subtraímos da primeira para eliminar :
Passo 35
Multiplicamos a primeira equação por 3 e subtraímos da terceira para eliminar :
Passo 36
Agora, temos o sistema reduzido:
Passo 37
Vamos resolver para e usando o método de substituição. Multiplicamos a primeira equação por 10 e a segunda por 7:
Passo 38
Subtraímos a segunda equação da primeira:
Passo 39
Substituímos na primeira equação reduzida:
Passo 40
Agora, substituímos e na primeira equação original para encontrar :
Passo 41
Agora, temos um sistema com três equações e três variáveis , , e . Vamos analisar a existência e unicidade das soluções.
Passo 42
As equações são:
Passo 43
Vamos usar o método de escalonamento. Primeiro, escolhemos a primeira equação como pivô para eliminar nas outras equações.
Passo 44
Multiplicamos a segunda equação por 2 e subtraímos da primeira para eliminar :
Passo 45
Multiplicamos a segunda equação por 4 e subtraímos da terceira para eliminar :
Passo 46
Observamos que as duas novas equações são iguais:
Passo 47
Isso significa que há duas equações independentes e uma dependente, resultando em infinitas soluções.
Passo 48
Temos um sistema com três equações e três variáveis , , e . Vamos verificar a existência e unicidade das soluções.
Passo 49
As equações são:
Passo 50
Vamos observar se as equações são múltiplos umas das outras. Multiplicando a primeira equação por 6:
Comparando com a segunda equação:
Subtraindo:
Passo 51
Substituímos na primeira equação:
Passo 52
Substituímos na terceira equação:
Passo 53
As duas equações reduzidas são iguais, então temos apenas uma equação para e . Isso significa que há infinitas soluções com .
Passo 54
Podemos escolher um valor para e encontrar . Por exemplo, se , então ; se , então , etc.
Passo 55
Temos um sistema com três equações e três variáveis , , e . Vamos analisar a existência e unicidade das soluções.
Passo 56
As equações são:
Passo 57
Observamos que a terceira equação é vezes a primeira equação:
Comparando com a terceira equação fornecida:
Isso resulta em uma contradição:
Passo 58
Como há uma contradição nas equações, o sistema não tem solução.
Passo 59
Temos um sistema com quatro equações e duas variáveis e . Vamos verificar se há solução e se é única.
Passo 60
As equações são:
Passo 61
Vamos simplificar as equações:
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:
Quarta equação:
Passo 62
Observamos que:
Essas três equações são inconsistentes entre si.
Passo 63
Como as equações não são compatíveis, o sistema não tem solução.
Passo 64
Temos um sistema com cinco equações e três variáveis , , e . Vamos verificar se há solução e se é única.
Passo 65
As equações são:
Passo 66
Vamos organizar o sistema e usar métodos de eliminação para simplificar.
Passo 67
Primeiro, resolveremos a segunda equação para :
Passo 68
Substituímos nas outras equações:
Terceira equação:
çã
Quarta equação:
çã
Quinta equação:
çã
Passo 69
Agora, temos o sistema reduzido:
Passo 70
Vamos resolver Equação A para :
Passo 71
Substituímos na Equação B:
Passo 72
Substituindo em :
Passo 73
Agora, substituímos e na Equação C para verificar a consistência: