Para cada um dos sistemas lineares a seguir, analise a existência ou não de solução, bem como unicidade de solução, no caso de haver existência.
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Passo 1
Então, temos um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . O objetivo é descobrir se existe uma solução para esse sistema e, se existir, se essa solução é única. Para resolver isso, vamos usar o método da eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema para descobrir as soluções passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial aumentada, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Passo 3
Nosso objetivo é transformar essa matriz em forma escalonada, onde conseguimos visualizar melhor as soluções. Vamos começar eliminando o termo abaixo de na primeira coluna.
Multiplicamos a segunda linha por 4 e somamos com a primeira linha para eliminar o :
Fazendo as operações:
Somando a primeira e a segunda linha:
Então, a nova segunda linha é:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o das outras linhas usando a primeira linha.
Para a terceira linha ():
Multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da terceira linha para eliminar o .
Subtraindo da terceira linha:
Multiplicando tudo por 4 para simplificar:
Perceba que essa é a mesma equação que obtivemos anteriormente.
Passo 5
Vamos repetir o processo para a quarta e quinta linhas para eliminar o .
Para a quarta linha ():
Multiplicamos a primeira linha por e somamos com a quarta linha:
Multiplicando por 4:
Para a quinta linha ():
Multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da quinta linha:
Multiplicando por 2:
Passo 6
Agora, nosso sistema simplificado fica assim:
çãçãçã
Vamos resolver esse sistema de duas equações com duas incógnitas.
Passo 7
Primeiro, vamos resolver pela Equação 2 para expressar em termos de :
Agora, substituímos nas Equações 4 e 5.
Substituindo na Equação 4 ():
Passo 8
Agora que temos o valor de , substituímos de volta na expressão para :
Passo 9
Com os valores de e , podemos encontrar usando a Equação 1 original:
Resposta
A solução do sistema é , e . Portanto, o sistema possui uma única solução.