Para cada um dos sistemas lineares a seguir, analise a existência ou não de solução, bem como unicidade de solução, no caso de haver existência.
f) c4 a+5 b+7 c=1 -a-b-c=2 3 a+4 b+6 c=3 -a+b+7 c=-11 2 a+5 b+13 c=-8

Passo 1

Então, temos um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . O objetivo é descobrir se existe uma solução para esse sistema e, se existir, se essa solução é única. Para resolver isso, vamos usar o método da eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema para descobrir as soluções passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial aumentada, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
4 & 5 & 7 & | & 1 -1 & -1 & -1 & | & 2 3 & 4 & 6 & | & 3 -1 & 1 & 7 & | & -11 2 & 5 & 13 & | & -8

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em forma escalonada, onde conseguimos visualizar melhor as soluções. Vamos começar eliminando o termo abaixo de 4(-1) + 4 = 0 (por isso elimina o ( a )) na primeira coluna.
Multiplicamos a segunda linha por 4 e somamos com a primeira linha para eliminar o &4a + 5b + 7c = 1 &-4a -4b -4c = 8 &3a + 4b + 6c = 3 &-1a +1b +7c = -11 &2a +5b +13c = -8 :
(4a -4a) + (5b -4b) + (7c -4c) = 1 + 8 0a + 1b + 3c = 9
Fazendo as operações:
b + 3c = 9
Somando a primeira e a segunda linha:
Então, a nova segunda linha é:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 34(4a + 5b + 7c) = 3a + 154b + 214c = 34 das outras linhas usando a primeira linha.
Para a terceira linha ( (3a + 4b +6c) - (3a + 154b + 214c) = 3 - 34 Rightarrow 0a + (4 - 154)b + (6 - 214)c = 94 Rightarrow 14b + 34c = 94 ):
Multiplicamos a primeira linha por b + 3c = 9 e subtraímos da terceira linha para eliminar o .
Subtraindo da terceira linha:
Multiplicando tudo por 4 para simplificar:
Perceba que essa é a mesma equação que obtivemos anteriormente.

Passo 5

Vamos repetir o processo para a quarta e quinta linhas para eliminar o 14(4a +5b +7c) = a + 54b + 74c = 14 Rightarrow (-a + b +7c) + (a + 54b + 74c) = -11 + 14 Rightarrow 0a + 94b + 354c = -434 .
Para a quarta linha ( 9b + 35c = -43 ):
Multiplicamos a primeira linha por 12(4a +5b +7c) = 2a + 52b + 72c = 12 Rightarrow (2a +5b +13c) - (2a + 52b + 72c) = -8 - 12 Rightarrow 0a + 52b + 192c = -172 e somamos com a quarta linha:
5b +19c = -17
Multiplicando por 4:
Para a quinta linha ( ):
Multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da quinta linha:
Multiplicando por 2:

Passo 6

Agora, nosso sistema simplificado fica assim:
b + 3c = 9 (Equação 2) 9b + 35c = -43 (Equação 4) 5b +19c = -17 (Equação 5) çãçãçã
Vamos resolver esse sistema de duas equações com duas incógnitas.

Passo 7

Primeiro, vamos resolver pela Equação 2 para expressar b = 9 - 3c em termos de 9(9 -3c) +35c = -43 81 -27c +35c = -43 81 +8c = -43 8c = -43 -81 8c = -124 c = -1248 c = -15.5 :
Agora, substituímos nas Equações 4 e 5.
Substituindo na Equação 4 ( ):

Passo 8

Agora que temos o valor de b = 9 - 3(-15.5) b = 9 + 46.5 b = 55.5 , substituímos de volta na expressão para :

Passo 9

Com os valores de 4a +5b +7c =1 4a +5(55.5) +7(-15.5) =1 4a +277.5 -108.5 =1 4a +169 =1 4a =1 -169 4a = -168 a = -42 e , podemos encontrar usando a Equação 1 original:

Resposta

A solução do sistema é , e . Portanto, o sistema possui uma única solução.

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