Para cada um dos sistemas lineares a seguir, analise a existência ou não de solução, bem como unicidade de solução, no caso de haver existência.
f)

Passo 1

Então, temos um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . O objetivo é descobrir se existe uma solução para esse sistema e, se existir, se essa solução é única. Para resolver isso, vamos usar o método da eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema para descobrir as soluções passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial aumentada, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em forma escalonada, onde conseguimos visualizar melhor as soluções. Vamos começar eliminando o termo abaixo de na primeira coluna.
Multiplicamos a segunda linha por 4 e somamos com a primeira linha para eliminar o :
Fazendo as operações:
Somando a primeira e a segunda linha:
Então, a nova segunda linha é:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o das outras linhas usando a primeira linha.
Para a terceira linha ( ):
Multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da terceira linha para eliminar o .
Subtraindo da terceira linha:
Multiplicando tudo por 4 para simplificar:
Perceba que essa é a mesma equação que obtivemos anteriormente.

Passo 5

Vamos repetir o processo para a quarta e quinta linhas para eliminar o .
Para a quarta linha ( ):
Multiplicamos a primeira linha por e somamos com a quarta linha:
Multiplicando por 4:
Para a quinta linha ( ):
Multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da quinta linha:
Multiplicando por 2:

Passo 6

Agora, nosso sistema simplificado fica assim:
çãçãçã
Vamos resolver esse sistema de duas equações com duas incógnitas.

Passo 7

Primeiro, vamos resolver pela Equação 2 para expressar em termos de :
Agora, substituímos nas Equações 4 e 5.
Substituindo na Equação 4 ( ):

Passo 8

Agora que temos o valor de , substituímos de volta na expressão para :

Passo 9

Com os valores de e , podemos encontrar usando a Equação 1 original:

Resposta

A solução do sistema é , e . Portanto, o sistema possui uma única solução.

Exercícios relacionados

Para cada um dos sistemas lineares a seguir, analise a existência ou não de solução, bem como unicidade de solução, no caso de haver existência.
a)
Resolver o problema análogo ao anterior para a função
ao invés da função seno.
Uma indústria produz quatro tipos de produtos: (1), (2), (3) e (4). Cada produto é processado e produzido no decorrer da semana. Para produção de cada unidade desses produtos necessitam-se de quatro diferentes tipos de matérias-primas (A), (B), © e (D), conforme a tabela:
A B C D
1 2 4 1
2 0 1 0
4 2 3 1
3 1 2 1
Por exemplo, para produzir uma unidade do produto (1) necessita-se de 1 unidade de (A), 2 unidades de (B), 4 unidades de © e 1 unidade de (D).
A indústria possui um planejamento de reposição de matérias-primas que varia semanalmente. A tabela a seguir mostra a disponibilidade dos estoques:
Estoque A B C D
Semana 1 16 13 27 7
Semana 2 18 12 25 7
Semana 3 20 20 40 11
Semana 4 27 9 23 5
Formule um modelo matemático para determinar a manufatura dos produtos, de modo que os estoques de matérias-primas sejam esgotadas semanalmente.
A etapa de escalonamento no Método de Eliminação de Gauss consiste em anular os coeficientes que estão abaixo da diagonal principal, tornando a matriz dos coeficientes do sistema em uma matriz triangular superior e resultando no sistema linear
Após esta etapa, utiliza-se a função SolveSistSuperior(A, b) para resolver o sistema acima. Considere um novo método para a solução de sistemas lineares, obtido através de uma alteração no algoritmo do Método de Eliminação de Gauss. O novo método, consiste em também anular os coeficientes que estão acima da diagonal principal. Dessa forma, após o processo de escalonamento, a matriz dos coeficientes do sistema terá elementos não nulos somente na diagonal principal. Assim, o sistema linear terá o seguinte formato:
A solução do sistema acima é obtida por . Crie uma função no Matlab que resolva um sistema inear usando o novo método. Para isto, identifique no algoritmo do Método de Eliminação de Gauss as etapas responsáveis em anular os coeficientes que estão abaixo da diagonal principal e acrescente uma condição para que os estão acima da diagonal principal também fiquem nulos. Chame a função de GaussModificado(A, b).