Resolver o problema análogo ao anterior para a função
f(t)=cos (pi t6)
ao invés da função seno.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver um problema parecido com o anterior, mas agora usando a função em vez da função seno. O assunto aqui é trigonometria, especificamente envolvendo funções cosseno. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular funções trigonométricas, identificar amplitude, período, e possivelmente outras características como deslocamento de fase. Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da função f(t) = A cos(Bt + C) + D . A função cosseno geral tem a forma:
Onde:
  • é a amplitude,
  • está relacionado ao período,
  • é o deslocamento de fase,
  • é o deslocamento vertical.
No nosso caso, , então:
  • (a amplitude é 1),
  • ,
  • (não há deslocamento de fase),
  • (não há deslocamento vertical).

Passo 3

Agora, vamos descobrir o período da função. O período T = 2piB de uma função cosseno é dado por:
T = 2pipi6 = 2pi times 6pi = 12
Substituindo :
Então, o período da nossa função é 12 unidades de tempo.

Passo 4

A amplitude da função é , o que significa que a função oscila entre -1 e 1 no eixo vertical.
Como não temos deslocamento de fase ( ) nem deslocamento vertical ( ), a função começa no ponto máximo quando , e está centrada no eixo horizontal (eixo t).

Passo 5

Se quisermos, por exemplo, determinar os pontos onde a função atinge seu valor máximo e mínimo, podemos usar essas informações.
  • O valor máximo ocorre quando , ou seja, quando
    • Resolvendo para :
  • O valor mínimo ocorre quando , ou seja, quando
    • Resolvendo para :

Passo 6

Vamos plotar a função para visualizar melhor. Sabemos que ela tem amplitude 1 e período 12, começando no valor máximo quando c|c t & f(t) = cos(pi t6) hline 0 & 1 3 & 0 6 & -1 9 & 0 12 & 1 .
Isso nos dá uma ideia de como a função se comporta ao longo do tempo.

Passo 7

Se precisarmos derivar ou integrar essa função, podemos aplicar as regras de derivação e integração para funções trigonométricas.
Por exemplo, a derivada de f'(t) = -pi6 sin(pi t6) será:
integral f(t) , dt = 6pi sin(pi t6) + C
E a integral de será:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A função tem amplitude 1, período 12, e oscila entre -1 e 1 sem deslocamento de fase ou vertical. Seus pontos máximos ocorrem em e os mínimos em .

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