Uma indústria produz quatro tipos de produtos: (1), (2), (3) e (4). Cada produto é processado e produzido no decorrer da semana. Para produção de cada unidade desses produtos necessitam-se de quatro diferentes tipos de matérias-primas (A), (B), © e (D), conforme a tabela:
A B C D
1 2 4 1
2 0 1 0
4 2 3 1
3 1 2 1
Por exemplo, para produzir uma unidade do produto (1) necessita-se de 1 unidade de (A), 2 unidades de (B), 4 unidades de © e 1 unidade de (D).
A indústria possui um planejamento de reposição de matérias-primas que varia semanalmente. A tabela a seguir mostra a disponibilidade dos estoques:
Estoque A B C D
Semana 1 16 13 27 7
Semana 2 18 12 25 7
Semana 3 20 20 40 11
Semana 4 27 9 23 5
Formule um modelo matemático para determinar a manufatura dos produtos, de modo que os estoques de matérias-primas sejam esgotadas semanalmente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma indústria que fabrica quatro produtos diferentes, chamados de (1), (2), (3) e (4). Cada um desses produtos precisa de quatro matérias-primas: A, B, C e D, e cada uma delas em quantidades específicas. Além disso, temos uma tabela que mostra quanto de cada matéria-prima está disponível em quatro semanas diferentes.
O que a gente precisa fazer: Formular um modelo matemático que vai nos ajudar a decidir quantas unidades de cada produto fabricar em cada semana, de forma que toda a matéria-prima disponível seja usada direitinho, sem sobrar ou faltar nada.
Para isso, vamos usar álgebra linear e montar um sistema de equações lineares. Vamos precisar entender bem como cada produto consome as matérias-primas e como isso se relaciona com as quantidades disponíveis nas semanas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis do nosso problema. Vamos chamar:
  • = número de unidades do produto (1) que vamos fabricar
  • = número de unidades do produto (2) que vamos fabricar
  • = número de unidades do produto (3) que vamos fabricar
  • = número de unidades do produto (4) que vamos fabricar
Essas são as nossas variáveis desconhecidas que queremos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a tabela de consumo de matérias-primas por produto. Cada produto consome uma certa quantidade de A, B, C e D. Por exemplo, o produto (1) usa 1 unidade de A, 2 de B, 4 de C e 1 de D. Vamos expressar isso para todos os produtos:
Isso nos mostra como cada variável ( ) consome as matérias-primas A, B, C e D.

Passo 4

Vamos agora considerar a disponibilidade das matérias-primas em cada semana. Temos a seguinte tabela:
Isso significa que, por exemplo, na Semana 1, temos 16 unidades de A, 13 de B, 27 de C e 7 de D disponíveis para usar na produção.

Passo 5

Para cada semana, vamos montar um conjunto de equações que representam o consumo das matérias-primas pelos produtos igualando à disponibilidade.
Vamos fazer isso para a Semana 1 como exemplo:
  • Matéria-prima A:
  • Matéria-prima B:
  • Matéria-prima C:
  • Matéria-prima D:
Essas equações garantem que a soma dos materiais usados pelos produtos seja igual exatamente ao que temos disponível na semana.

Passo 6

Repetindo esse processo para as outras semanas, teremos um sistema de equações para cada uma delas. Por exemplo, para a Semana 2:
E assim por diante para as Semanas 3 e 4.

Passo 7

No fim, vamos ter um modelo matemático que consiste em 4 sistemas de 4 equações cada (uma para cada semana). Esse modelo pode ser representado em forma de matrizes ou resolvido usando métodos de álgebra linear para encontrar os valores de que satisfazem todas as equações.
Isso vai nos dizer exatamente quantas unidades de cada produto fabricar em cada semana para usar todo o estoque de matérias-primas disponível.

Resposta

O modelo matemático consiste em quatro sistemas de equações lineares, um para cada semana, onde as incógnitas representam as unidades a serem produzidas dos produtos (1), (2), (3) e (4) respectivamente. Cada sistema garante que a soma do consumo das matérias-primas iguale a disponibilidade semanal. Por exemplo, para a Semana 1:
Esse modelo deve ser repetido para as Semanas 2, 3 e 4 com os respectivos valores de disponibilidade. Resolvendo esses sistemas, determinamos as quantidades de cada produto a serem fabricadas semanalmente, esgotando assim os estoques de matérias-primas como planejado.

Exercícios relacionados

Para cada um dos sistemas lineares a seguir, analise a existência ou não de solução, bem como unicidade de solução, no caso de haver existência.
f)
Para cada um dos sistemas lineares a seguir, analise a existência ou não de solução, bem como unicidade de solução, no caso de haver existência.
a)
A etapa de escalonamento no Método de Eliminação de Gauss consiste em anular os coeficientes que estão abaixo da diagonal principal, tornando a matriz dos coeficientes do sistema em uma matriz triangular superior e resultando no sistema linear
Após esta etapa, utiliza-se a função SolveSistSuperior(A, b) para resolver o sistema acima. Considere um novo método para a solução de sistemas lineares, obtido através de uma alteração no algoritmo do Método de Eliminação de Gauss. O novo método, consiste em também anular os coeficientes que estão acima da diagonal principal. Dessa forma, após o processo de escalonamento, a matriz dos coeficientes do sistema terá elementos não nulos somente na diagonal principal. Assim, o sistema linear terá o seguinte formato:
A solução do sistema acima é obtida por . Crie uma função no Matlab que resolva um sistema inear usando o novo método. Para isto, identifique no algoritmo do Método de Eliminação de Gauss as etapas responsáveis em anular os coeficientes que estão abaixo da diagonal principal e acrescente uma condição para que os estão acima da diagonal principal também fiquem nulos. Chame a função de GaussModificado(A, b).
O polinômio de segundo grau, , cujo gráfico passa pelos pontos não colineares e pode ser obtido pela resolução de um sistema linear . Obtenha o polinômio de segundo grau cujo gráfico passa pelos pontos e .