A etapa de escalonamento no Método de Eliminação de Gauss consiste em anular os coeficientes que estão abaixo da diagonal principal, tornando a matriz dos coeficientes do sistema em uma matriz triangular superior e resultando no sistema linear
Após esta etapa, utiliza-se a função SolveSistSuperior(A, b) para resolver o sistema acima. Considere um novo método para a solução de sistemas lineares, obtido através de uma alteração no algoritmo do Método de Eliminação de Gauss. O novo método, consiste em também anular os coeficientes que estão acima da diagonal principal. Dessa forma, após o processo de escalonamento, a matriz dos coeficientes do sistema terá elementos não nulos somente na diagonal principal. Assim, o sistema linear terá o seguinte formato:
A solução do sistema acima é obtida por . Crie uma função no Matlab que resolva um sistema inear usando o novo método. Para isto, identifique no algoritmo do Método de Eliminação de Gauss as etapas responsáveis em anular os coeficientes que estão abaixo da diagonal principal e acrescente uma condição para que os estão acima da diagonal principal também fiquem nulos. Chame a função de GaussModificado(A, b).

Passo 1

Então, galera! Vamos resolver um exercício sobre o Método de Eliminação de Gauss, que é usado para resolver sistemas de equações lineares. A gente vai focar na etapa de escalonamento, onde a ideia é transformar a matriz dos coeficientes em uma forma triangular superior, ou seja, com zeros abaixo da diagonal principal. Mas aqui, o desafio é ir além: além de eliminar os coeficientes abaixo da diagonal, vamos também zerar os que estão acima dela, deixando só os elementos da diagonal principal diferentes de zero. Isso facilita a resolução do sistema, pois cada variável pode ser encontrada isoladamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Método de Eliminação de Gauss. Ele basicamente transforma a matriz do sistema em uma matriz triangular superior usando operações de linha, facilitando a resolução das variáveis por substituição. Para isso, a gente anula os elementos abaixo da diagonal principal.

Passo 3

No nosso exercício, além de zerar os elementos abaixo da diagonal, precisamos também zerar os que estão acima dela. Isso vai resultar em uma matriz diagonal, onde cada equação tem apenas uma variável. Ou seja, teremos um sistema onde cada equação é do tipo .

Passo 4

Com a matriz na forma diagonal, resolver o sistema fica bem simples: para cada variável , basta dividir por , ou seja, . Isso elimina a necessidade de back-substitution, que usamos normalmente em matrizes triangulares superiores.

Passo 5

Agora, vamos criar a função no Matlab chamada GaussModificado(A, b). Essa função vai modificar o algoritmo padrão do Método de Eliminação de Gauss para também eliminar os coeficientes acima da diagonal principal. Vamos iterar sobre cada linha e coluna, aplicar as operações necessárias para zerar os elementos acima e abaixo da diagonal, e por fim, calcular as soluções das variáveis dividindo por .

Resposta

Aqui está a função GaussModificado no Matlab que implementa o método descrito:
function x = GaussModificado(A, b)
    n = length(b);
    
    % Escalonamento para matriz diagonal
    for k = 1:n
        % Dividir a linha k pelo elemento a(k,k)
        A(k, :) = A(k, :) / A(k, k);
        b(k) = b(k) / A(k, k);
        
        % Zerar os elementos abaixo da diagonal
        for i = 1:n
            if i ~= k
                fator = A(i, k);
                A(i, :) = A(i, :) - fator * A(k, :);
                b(i) = b(i) - fator * b(k);
            end
        end
    end
    
    % A solução é simplesmente b, já que a matriz A agora é a identidade
    x = b;
end
Como funciona a função:
  1. Normalização da Linha: Para cada linha , normalizamos a linha dividindo todos os seus elementos pelo elemento da diagonal . Isso garante que o elemento da diagonal principal seja 1.
  2. Eliminação de Outros Elementos na Coluna: Para cada linha diferente de , subtraímos um múltiplo da linha da linha para zerar o elemento .
  3. Solução Final: Após o escalonamento, a matriz se torna uma matriz identidade, e o vetor contém as soluções para as variáveis .
Exemplo de Uso:
A = [2 1 -1; -3 -1 2; -2 1 2];
b = [8; -11; -3];
x = GaussModificado(A, b);
disp(x);
Isso vai retornar a solução do sistema linear definido por e .

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